提高工科研究生數值分析課程教學質量的一些新探討與實踐

鄧鎮國+黎健玲+鐘獻詞

摘要：針對我校工科研究生數值分析課程課時少、學生人數多、學生數學基礎參差不齊的情況，對如何有效地提高這門課程的教學質量進行了探討，這些實踐經驗對數值分析教材的編寫和改進具有一定的參考價值。

關鍵詞：數值分析課程；教學質量；工科研究生

中圖分類號：G643 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）03-0150-02

一、引言

數值分析課程是我校工科研究生的一門學位課程。近年來隨著工科研究生招生規模的擴大，學生人數越來越多，但學生數學基礎參差不齊，而且數值分析課程內容多、學時少，因此如何提高這門課程的教學質量成為教師急需解決的問題。我們通過校研究生優質課程項目立項建設與實踐，對提高數值分析課程的教學質量進行了探討與實踐。在課程的教學中，我們以知識的邏輯順序為主線安排教學內容，從特殊到一般和一題多解兩種方式相結合講授知識點與例題。這些實踐經驗對數值分析教材的編寫和改進具有一定的參考價值。

二、提高數值分析課程教學效率的新探討與實踐

首先，以知識的邏輯順序為主線安排教學內容，可以保持知識體系的連貫性，從而有效提高教學質量。下面通過對數值分析的內容和知識體系作說明。數值分析的主要內容包括數值代數、非線性方程（組）的數值解法、數值逼近和常微分方程數值解四大部分。其中，數值代數包括解線性方程組的直接方法與迭代法、矩陣特征值問題計算等；數值逼近包括插值法、函數逼近與曲線擬合、數值積分與數值微分等。這四大部分看似相對獨立，實際上相互間是有邏輯順序關系的。舉例如下。

（1）三次樣條插值求解最終歸結為求三對角方程組，需要用到解線性方程組的追趕法。

（2）最佳平方逼近最終歸結為求法方程組，這是一個對稱線性方程組，當方程組的條件數不大時，一般采用解線性方程組的直接方法。

（3）在使用高斯—勒讓德求積公式時，所采用的求積節點實際上是勒讓德多項式的零點，而尋找這些零點最有效的方法就是求解非線性方程的牛頓迭代法。

（4）建立一階常微分方程初值問題的數值格式需要用到數值微分法或數值積分法。

（5）非線性方程組的牛頓迭代法需要用到矩陣的除法，這屬于線性方程組的解法問題。

從上面舉例可以看到，學習數值逼近內容需要用到數值代數和非線性方程（組）的數值解法知識，學習常微分方程數值解需要用到數值逼近知識，學習非線性方程（組）的數值解法內容需要用到數值代數知識，而學習數值代數不需要用到非線性方程（組）的數值解法、數值逼近和常微分方程數值解的知識。因此，根據這個邏輯順序，課程內容應該先安排數值代數，接著安排非線性方程（組）的數值解法，再安排數值逼近，最后安排常微分方程數值解。這樣安排可以保持各部分內容的連貫性，減輕學生的學習負擔，從而提高教學效果。需要指出的是，部分教材大體與這個邏輯順序一致，多數教材仍先安排數值逼近，接著安排數值代數，再安排非線性方程（組）的數值解法，最后安排常微分方程數值解。

其次，從特殊到一般的方式講授教學內容，不僅容易讓學生接受，而且能提高學生的數學歸納能力，也節省了板書時間，從而提高了教學質量與效果。舉例如下。

（1）關于解線性方程組的直接法，先從三階線性方程組的求解講起，然后引導學生從三階線性方程組的計算過程，通過觀察矩陣元素下標的變化，歸納出 階線性方程組的直接法，關于解線性方程組的迭代法亦是如此。

（2）關于插值法，先從低次的線性插值、二次插值講起，然后引導學生從低次插值的構造過程，通過觀察插值基的變化，歸納出n次插值。

（3）關于2n+1次Hermite插值，先從兩個點上給定函數值和導數值構造三次Hermite插值講起，然后引導學生從三次Hermite插值過程中觀察插值點和插值基函數的對應關系，歸納出n+1點上2n+1次Hermite插值。

（4）關于Newton-Cotes求積公式，先從低階的Newton-Cotes求積公式，即梯形求積公式和拋物線求積公式（或稱Simpson求積公式）講起，然后引導學生從低階求積公式的構造過程，通過觀察求積節點與求積系數的對應關系，歸納出Newton-Cotes的求積公式。

從上面舉例可以看到，從特殊到一般的講授方式，對工科研究生來說是比較容易接受的。如果先從一般形式出發，對工科研究生來說太抽象了，會對這門課程產生畏懼感，從而影響聽課效率。

最后，以一題多解的方式講授例題，不僅提高了學生的發散思維，而且節省了講題時間，又能加強多種方法之間的比較，從而使學生對所學內容有更加深刻的理解。舉例如下。

（1）關于n次插值與分段線性插值，可以選擇龍格函數構造關于等距節點的數表，先讓學生觀察不同次數的插值多項式的插值誤差在被插值節點靠近對稱點和遠離對稱點兩種情形下的變化，然后引導學生分析得到插值誤差跟插值節點的數目及位置有關，既然插值誤差跟插值節點的數目有關，由此引出分段線性插值，此時被插值節點遠離對稱點出現的龍格現象是解決了，但是被插值節點靠近對稱點情形下的插值誤差階太低，再啟發學生，既然插值誤差還跟插值節點的位置有關，如果采用不等距節點的插值，誤差階在上述兩種情形下隨著節點數的增加是否會提高呢？此時可以使用切比雪夫多項式的零點作節點進行比較，為下一章函數逼近的學習埋下伏筆。

（2）關于切比雪夫最佳一致逼近定理及由其直接得到的切比雪夫最小零偏差多項式性質的應用，由于該定理比較抽象，學生反映不易掌握。我們在舉例講解時，為了讓學生更好地理解該定理，可以選擇多項式做被逼近函數的例子，這樣既可以直接使用切比雪夫定理，又可以使用切比雪夫最小零偏差多項式性質。比如，“選取參數a，使■|x3-ax|達到極小”，這個例子利用■|x3-ax|與■|x3-ax|相等，使用切比雪夫最小零偏差多項式性質求解是比較簡單的，而使用切比雪夫定理，關鍵是選擇適當被逼近函數及相應最佳一致逼近多項式，如果選擇ax為x3的一次最佳一致逼近多項式，通過它們的圖像可以看到，在[0，1]上只有兩個正負偏差點，與一次最佳一致逼近多項式至少存在三個正負偏差點不符，所以只能選擇0作為x3-ax的零次最佳一致逼近多項式，然后根據切比雪夫定理求出參數a。

通過上面的舉例可以看到，一題多解不僅提高了學生的發散思維，而且可以避開相關定理的煩瑣證明，通過適當的例子教會學生運用定理，反過來理解定理的意義，從而改進教學效果，提高教學質量。

三、結論與認識

1.本文從研究數值分析主要內容的邏輯特征出發，分析數值各部分內容之間的邏輯順序，然后以該順序為主線安排教學內容，再通過實例分析說明，從特殊到一般和一題多解兩種方式相結合講授教學內容，以達到改進教學效果、提高教學質量的目的。

2.關于工科研究生數值分析課程目前面臨的問題，與多數文獻提出的觀點不同的是，本文所進行的探討與實踐主要從數值分析內容結構本身進行，所以這些探討與實踐的經驗對數值分析教材的編寫與改進也具有一定的參考價值。

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