判斷函數單調性的常用方法

林凱

【摘 要】單調性是函數的一個重要性質，它是學生學習一些其他知識的基礎，同時也是高考的高頻考點。但是在平時的教學過程中，筆者發現不論是初步接觸單調性的高一學生，還是進入總復習的高三學生，對于函數的單調性的判斷，大部分時候都是不知所以然。針對這一情況，筆者有以下一些解題分析和答題策略，與大家共同商討。

【關鍵詞】函數；單調性；定義法；性質法；同增異減法；導數法；抽象函數

函數的單調性是函數諸多性質中最為基本的性質，亦是最為常用的性質，觀察函數圖象時首先注意到的是圖象的上升或下降，但是由于圖象直觀獲得的結論還需要從數量關系的角度通過邏輯推理加以確認。所以對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：①要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；②單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的。下面，筆者就這一問題給出一些自己的見解和方法，以供大家參考。

一、定義法

根據定義證明函數單調性是函數單調性的最重要的方法，利用定義證明函數f（x）在給定的區間D上的單調性的一般步驟： ① 任取x1，x2∈D，且x1

例如：求函數y= x∈[2，3]上的單調性

證明：∵函數y===1+

設2≤x1

則f（x1）-f（x2）=-

∵2≤x1

∴x2-x1>0，x1-1<0，x2-1<0

∴f（x1）-f（x2）>0即f（x1）>f（x2）

∴函數y=在[2，3]上是減函數

使用定義法是判斷函數單調性的一種常用方法，使用這一方法關鍵在于對函數單調性定義的理解，在應用定義法判別的時候，首先取定定義域中不等的兩點，對其函數值作差，判斷其大小，但是，在解題過程中，不乏對不等式的靈活應用，因此熟練掌握一些常的不等式。

二、性質法

除了用基本初等函數的單調性之外，利用單調性的有關性質也能簡化解。

若函數f（x）、g（x）在區間B上具有單調性，則在區間B上有：

（1）f（x）與f（x）+C（C為常數）具有相同的單調性；例如：f（x）= x3在R上是增函數，則f（x）=x3+3在R上也是增函數；

（2） f（x）與c·f（x）當c>0具有相同的單調性，當c<0具有相反的單調性； 例如證明函數f（x）=3x-1在R上是單調增函數，∵函數f（x）=x在R上是單調增函數，∴f（x）=3x在R上也是單調增函數；∴f（x）=-2x在R上是減函數。

（3）當f（x）、g（x）都是增（減）函數，則f（x）+g（x）都是增（減）函數；例如，證明函數F（x）=x3+x在R上是增函數。∵f（x）= x3在R上是增函數，g（x）=x在R上是增函數， ∴F（x） =f（x）+g（x）=x3+x在R上是增函數；再如：證明函數F（x）=（）x+在R上是減函數。∵f（x）=（）x在R上是減函數，g（x）在R上是減函數，∴F（x）=（）x+在R上是減函數。

函數性質法是用單調函數的性質來判斷函數單調性的方法。函數性質法通常與我們常見的簡單函數的單調性結合起來使用。函數性質法只能借助于我們熟悉的單調函數去判斷一些函數的單調性，因此首先把函數等價地轉化成我們熟悉的單調函數的四則混合運算的形式，然后利用函數單調性的性質去判斷，但有些函數不能化成簡單單調函數四則混合運算形式就不能采用這種方法。

三、同增異減法

同增異減法是處理復合函數的單調性問題的常用方法。對于復合函數y=f[g（x）]滿足“同增異減”法（應注意內層函數的值域），可令 t=g（x），則三個函數 y=f（t）、t=g（x）、y=f [g（x）]中，若有兩個函數單調性相同，則第三個函數為增函數；若有兩個函數單調性相反，則第三個函數為減函數. 例如：求函數f（x）=log2x3在（0，+∞）的單調性，令y= log2t，t=x3；∵y=log2t在（0，+∞）是增函數，t=x3在（0，+∞）也是增函數；∴f（x）=log2x3在（0，+∞）是增函數。因為兩個函數都是增函數，則復合函數f（x）=log2x3在（0，+∞）上是增函數。

對于復合函數y=f[g（x）]，若函數u=g（x），在區間[a，b]上是單調函數，函數y=f（u）在[g（a），g（b）]或[g（b），g（a）]上也是單調函數，那么復合函數y=f[g（x）]在區間[a，b]上是單調函數，其單調性簡記為“同增異減”。判斷函數的單調性，特別注意要在定義域內研究。

四、導數法

利用導數的符號判斷函數的增減性，這是導數幾何意義在研究曲線變化規律時的一個應用，它充分體現了數形結合的思想。一般地，在某個區間（a，b）內，如果f′（x）>0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞增；如果f′（x）<0，那么函數y=f（x）在這個區間內單調遞減。如果在某個區間內恒有f′（x）=0，則f（x）是常函數。注意：在某個區間內，f′（x）>0是f（x）在此區間上為增函數的充分條件，而不是必要條件，但（2）求可導函數f（x）單調區間的步驟：①求f′（x）；②解不等式f′（x）>0（或f′（x）<0）；③確認并指出遞增區間（或遞減區間）例如：求證： 函數f（x）=2x3-6x2+7在（0，2）內是減函數。∵f（x）=2x3-6x2+7， ∴f'（x）=6x2-12x，由f'（x）>0，解得0

利用導數判斷函數的單調性，一般應先確定函數的定義域，再求導數f'（x），通過判斷函數定義域被導數為零的點所劃分的各區間內f'（x）的符號，來確定函數f（x）在該區間上的單調性并要注意，在相同單調性的兩個區間不能寫成并集的形式。

五、抽象函數

抽象函數是指沒有給出具體的函數解析式，但給出了函數滿足的一部分性質或運算法則的函數。此類函數單調性的證明既能全面考查學生對函數概念的理解及性質的代數推理和論證能力，又能綜合考查學生對數學符號語言的理解與接受能力。 抽象函數單調性判斷的四種策略：①湊差策略。緊扣單調函數定義，利用賦值，設法從題設中“湊出”“f（x1）-f（x2）”，然后判斷符號；②添項策略。瞄準題中的結構特點，采用加減添項或乘除添項，以達到確定“f（x1）-f（x2）”的符號的目的；③增量策略。由單調性的定義出發；④放縮策略。結合添項策略，利用放縮法，判斷f（x1）與f（x2）的大小關系，從而得f（x）的單調性。例如：函數f（x）對任意的a、b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，并且當x>0，f（x）>1，求證：f（x）是R上的增函數。分析：先取x10時，f（x）>1。得到f（x2-x1）>1，再對f（x2）按照f（a+b）=f（a）+f（b）-1變形得到結論。證明：x1>0。∴f（x2-x1）>1。∴f（x2）=f[x1+（x2 -x1）]=f（x1）+ f（x2-x1）-1>1，∴f（x）是R上的增函數。再如：已知定義在R上的函數f（x）滿足：對任意x>0，都有f（x）>0；f（x）+f（y）=f（x-y）對任意實數x、y都成立，試證明f（x）是減函數。證明：設x10，∴f（x2-x1）>0∴f（x1）-f（x2）>0∴f（x）是減函數；本題證明的關鍵點在于：f（x）+f（y）=f（x-y）對于任意實數x、y都成立。

函數單調性是函數的一個非常重要的性質，從知識的網絡結構上看，函數的單調性既是函數概念的延續和拓展，又是后續研究指數函數、對數函數、三角函數的單調性等內容的基礎，在研究各種具體函數的性質和應用、解決各種問題中都有著廣泛的應用.本文從單調性的定義入手，總結了判斷單調性的常見方法。對于具體的函數，我們可以用多種方法去判斷其單調性，特別地導數法是普遍適用的，圖像法也是最簡單最直觀的。因此在判斷函數單調性的問題上，應靈活選擇恰當的方法，從而使解題過程最簡單。

參考文獻：

[1]劉璐《淺談高中數學抽象函數的單調性問題》.