論一元二次方程的特殊解法

摘要：對(duì)于一元二次方程的解法，教材上介紹的方法有直接開方法、配方法、公式法和因式分解法。但是有些方程用上述那些解法可能會(huì)比較繁瑣，在這里我們引進(jìn)一些新的解法，可以一定程度上簡化求解過程，使得解題更加簡便。以下就是對(duì)這幾種特殊解法的概述。

關(guān)鍵詞：一元二次；因式分解；積差法；數(shù)形結(jié)合

一、 滿足特殊條件的一元二次方程的解法

若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系數(shù)滿足a±b+c=0時(shí)，則方程的根為x1=±1，x2=±ca。

證明：如果a+b+c=0，則a=-b-c…①，根據(jù)求根公式x=-b±b2-4ac2a，將①式帶入，可得x=-b±b2-4c（-b-c）2a=-b±b2+4bc+4c22a=-b±（b+2c）22a即x1=-b+（b+2c）2a=2c2a=ca，x2=-b-（b+2c）2a=2（-b-c）2a=2a2a=1。

對(duì)于a-b+c=0的情況，證明過程與上述相似，在此省略。

具體解法：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的系數(shù)滿足a+b+c=0，由于有一個(gè)根為1，故可將方程左邊先分解出一個(gè)因式（x-1），然后根據(jù)二次項(xiàng)ax2的因式為x和ax，常數(shù)項(xiàng)c的因式為-1和-c，則方程的另一個(gè)因式為（ax-c），即方程可分解為（x-1）（ax-c）=0，所以解得方程的根為x1=1，x2=ca。對(duì)于a-b+c=0的情況解法類似，故省略。

【例1】解方程9406x2-8289x-1117=0

解析：這個(gè)方程各項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值都比較大，用傳統(tǒng)的方法求解計(jì)算量很大，容易出錯(cuò)。仔細(xì)觀察原方程，發(fā)現(xiàn)各項(xiàng)系數(shù)的和為零，根據(jù)上述性質(zhì)可知，方程有一根為1。因此方程左邊可分解為（x-1）（9406x+1117），從而解出方程。

解：觀察可知方程有一根為1，則方程可分解為（x-1）（9406x+1117）=0。

解得x-1=0或9406x+1117=0

∴x1=1，x2=-11179406。

二、 積差法解一元二次方程

積差法是將一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的常數(shù)項(xiàng)移到右邊，然后對(duì)左右兩邊的式子進(jìn)行配湊、分解，使得兩邊各因式的差相等，再根據(jù)因式大小對(duì)應(yīng)相等而求出方程的解。

具體操作如下：

對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），利用積差法求解步驟為：

第一步：移常數(shù)項(xiàng)，ax2+bx=-c；

第二步：提取公因式x，x（ax+b）=-c；

第三步：兩邊同乘系數(shù)a，ax（ax+b）=-ac；

第四步：令-ac=m，則方程為：ax（ax+b）=m；

第五步：觀察方程兩邊因式的差，由于左邊兩因式ax與ax+b的差為b，如果m=m1×m2或m=（-m1）×（-m2）（m1

第六步：根據(jù)因式對(duì)應(yīng)大小寫出等式，若ax

以下是利用此方法解方程的具體實(shí)例。

【例2】解方程2x2-11x+5=0

解：移常數(shù)項(xiàng)，得2x2-11x=-5，

提公因式，得x（2x-11）=-5，

兩邊同乘2，得2x（2x-11）=-10，

（由于2x與2x-11的差為11，所以-10分解的兩個(gè)因數(shù)的差也應(yīng)該為11）

右邊寫成乘積形式2x（2x-11）=-1×10

或2x（2x-11）=-10×1，

按大小對(duì)應(yīng)等式，2x=10或2x=1，

（也可寫成2x-11=-1或2x-11=-10）

所以x=5或x=12，

即x1=5，x2=12。

三、 數(shù)形結(jié)合法解一元二次方程

對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（ac<0），將其化為x（ax+b）=-c，利用數(shù)形結(jié)合法求解如下：

1. 當(dāng)a=1時(shí)，方程為x（x+b）=-c，構(gòu)造一個(gè)邊長為x和x+b的矩形，則其面積為-c，再把四個(gè)矩形拼成一個(gè)大的正方形，正方形的邊長為（x+x+b），如右圖所示，根據(jù)S大正=4S小矩+S小正，得出方程（2x+b）2=-4c+b2，然后利用直接開方法即可求出方程的解。

2. 當(dāng)a≠1時(shí)，在方程的兩邊同乘a，得ax（ax+b）=-ac，構(gòu)造一個(gè)邊長為ax和ax+b的矩形，則其面積為-ac，用與上同樣的方法得出方程（2ax+b）2=-4ac+b2，最后直接開方得出方程的解。

【例3】解方程3x2+4x-7=0

解：這里a=3，b=4，c=-7

根據(jù)數(shù)形結(jié)合法，方程可變形為：

（2·3x+4）2=-4×3×（-7）+42，即

（6x+4）2=100

直接開方，得6x+4=±10，

可解得，x1=1，x2=-73。

以上便是對(duì)一元二次方程幾種特殊解法的詳細(xì)介紹，可根據(jù)具體題目靈活運(yùn)用，熟練掌握這些方法，可以快速、準(zhǔn)確的解答此類題目。

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作者簡介：

余望鴻，福建省漳州市，廈門雙十中學(xué)漳州校區(qū)。