應用正、余弦定理判斷三角形的形狀例談

摘要：正、余弦定理揭示了三角形中的邊、角關系，是三角函數知識的重要組成部分，運用正（余）弦定理來正確判斷三角形的形狀，是較為高效、簡便的一個途徑。將已知條件轉化為邊的關系或角的關系，然后進行判斷。這是解決這一類問題的基本思路和基本方法。

關鍵詞：正弦定理；余弦定理；三角形形狀

判斷三角形的形狀是幾何學習的難點，解決的途徑不一而足，但運用正（余）弦定理來正確判斷三角形的形狀，無疑是較為高效、簡便的一個途徑。正、余弦定理揭示了三角形中的邊、角關系，是三角函數知識的重要組成部分；其靈活應用之一，就是判斷三角形的形狀。下面就這一問題做一下探究。

一、 正弦定理在判斷三角形的形狀時的應用

【例1】已知△ABC中，設BC=a，CA=b，AB=c，則a·b=b·c=c·a，判斷△ABC的形狀。

要判斷△ABC的形狀，就要首先明確知道△ABC的三條邊或者三個角，進而明確向量的數量積和△ABC的邊角關系。

解：如圖：a·b=b·c得

∵|a|·|b|·cos（π-C）=|b|·|c|·cos（π-A），

∴|a|·cosC=|c|·cosA。

由正弦定理：a∶c=sinA∶sinC得sinAcosC=sinCcosA，

∴sin（A-C）=0。

又∵ -π

∴ A-C=0，即A=C。

同理由a·b=c·a可得：B=C，

∴A=B=C，即△ABC為正三角形。

由asinA=bsinB=csinC=2Ra∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC可知，題目中出現了邊的齊次式之比時，就可以利用正弦定理把相應的邊化成角，在此基礎上判斷三角形的形狀。

【例2】在△ABC中，若a2tanB=b2tanA，判斷△ABC的形狀。

分析該題目的已知條件，然后正確使用正弦定理，將邊化角后判斷△ABC的形狀。

解：在△ABC中，有正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2Ra=2RsinA，b=2RsinB。

∵a2tanB=b2tanA，∴（2RsinA）2·sinBcosB=（2RsinB）2·sinAcosA2sinAcosA=2sinBcosBsin2A=sin2B，因為A、B為三角形的內角，

∴2A=2B或2A=π-2BA=B或A+B=π2，

∴△ABC為等腰三角形或直角三角形。

綜合以上兩個例題可以看出，要簡潔明了地判斷三角形的形狀，可以運用正弦定理將已知的條件轉化為角的關系，然后運用誘導公式將條件化簡、整理。這是解決這類問題的高效途徑之一。

二、 余弦定理在判斷三角形的形狀時的應用

【例3】在△ABC中，若B=60°，2b=a+c，試判斷△ABC的形狀。

要判斷三角形的形狀，可以從兩個角度入手：一個是從邊的關系，一個是從角的關系。前者要把角轉化為邊，后者要把邊轉化為角。

解：由余弦定理：b2=a2+c2-2bccosB，又∵B=60°，b=a+c2，

∴a+c22=a2+c2-ac（a-c）2=0a=c，

∴a=b=c，∴△ABC為正三角形。

【例4】在△ABC中，若cos2A2=b+c2c，試判斷△ABC的形狀。

解決這個問題的訣竅在于降冪公式，利用它把已知的條件轉化為三角形的內角和邊的關系，然后進行判斷。

解：∵cos2A2=b+c2c，

∴1+cosA2=b+c2ccosA=bc，

即b2+c2-a22bc=bcc2=a2+b2，

∴△ABC為直角三角形。

由以上兩題可以看出，要判斷三角形的形狀，通常要運用正（余）弦定理來代換轉化，經過化簡和整理，利用邊（角）關系來進行判斷。如果邊角混合，通常要運用正（余）弦定理把邊換成角或者把角換成邊，將已知的條件全部轉化為邊或角的關系，然后進行判斷。

綜上所述，要判斷三角形的形狀，關鍵就在于把已知的條件轉化為邊或角的關系，然后進行判斷。這是解決這一類問題的基本思路和基本方法，只有在正確認知的基礎上熟練運用，才可以更加熟練、準確地判斷三角形的形狀。

參考文獻：

[1]陸海波.正弦定理的應用[J].郴州師范高等?？茖W校學報，2001，02.

[2]黃漢禹.對正弦定理和余弦定理的研討[J].數學通訊，2011，06.

作者簡介：

魏雅寧，山東省東營市，廣饒縣第一中學高三（3）班。