基于最優化瞬心線的純滾剪切機構設計

劉 彪， 馬 雅 麗， 王 德 倫， 黎 康 康

( 大連理工大學 機械工程學院， 遼寧 大連 116024 )

0 引 言

兩剛體間的純滾運動在很多常用機械中有著廣泛而重要的應用．通常采用機構實現純滾運動，而機構設計的關鍵在于如何利用軌跡綜合方法確定機構的尺寸[1-2]．機構軌跡綜合問題以離散點或連續軌跡的方式給出，其實現方法分為精確點綜合和近似綜合[3]．在精確點綜合難以實現的情況下可以使用近似綜合．

一般來說，近似綜合又分為直接綜合和間接綜合．直接綜合法直接根據運動學原理求解機構方案，如Hrones[4]使用連桿曲線集分析四桿機構，Kramer[5]使用Hooke-and-Jeeves搜索法，Subbian等[6]使用連續法處理多項式方程來實現四桿機構軌跡生成綜合，但這些數值方法往往難以處理高階非線性方程組．王德倫等[7]提出了自適應擬合方法和法向誤差的鞍點規劃模型用于四桿機構運動綜合．為了同時保證有效性和高精度，許多優化算法也被用于機構軌跡綜合，如遺傳優化算法[8]、模擬退火法[9]等．間接綜合法[10-11]是從預先建立的軌跡圖譜中搜索匹配的軌跡，輸出機構構型和尺寸，該方法依賴于海量數據存儲容量和計算機快速檢索能力．

純滾剪切機構設計需要同時保證純滾運動軌跡和剪切性能，如用于中厚鋼板剪切的滾剪機，為保證剪切質量，理想剪切動作應保證上下剪刃作純滾運動，沒有滑移．現有方法往往選擇保證若干關鍵點精確運動的方式完成設計，或對上剪刃動態最低點軌跡優化[12]，但非關鍵點處易出現較大的運動誤差和水平滑移．因此，本文通過研究剪刃完整滾切運動的動、定瞬心線與接觸線的對應關系，建立一種新型的以最優化瞬心線為基礎的純滾運動機構綜合模型，以期獲得最優化的機構尺寸，使得滾剪機在整個剪切過程中具有最小的運動誤差和水平滑移量，提高剪切質量．

1 運動設計模型

剛體作相對運動時速度相同的點稱為速度瞬時中心，簡稱速度瞬心或瞬心．瞬心在固定剛體平面內的軌跡稱為定瞬心線，在運動剛體平面內的軌跡稱為動瞬心線．純滾運動意味著兩個剛體間相對運動沒有滑移，瞬時接觸點相對速度為零．因此，只要動、定瞬心線分別符合剛體運動時的接觸線，就可以保證兩剛體做純滾運動．

滾剪機的理想剪切運動應為上剪刃和下剪刃相對純滾運動．本文選擇二自由度連桿式滾剪機作為設計對象，其機構簡圖如圖1所示[13]．以下推導該七連桿機構的瞬心線運動方程．

圖1 七連桿機構簡圖

如圖1所示，桿AB和EF是原動件，桿CDG是從動件作為執行機構．在定鉸鏈點H處建立定坐標系H-xy，在桿CDG上的CD中點L處建立動坐標系L-xmym．各桿長度分別記為{Li，i=1，2，…，11}，各桿的相位角和角速度分別記為{θi，i=1，2，…，6}和{ωi，i=1，2，…，6}．對閉環HGDEFKH和閉環HGCBAFKH列閉環矢量方程：

HG+GD+DE=HK+KF+FE

(1)

HG+GC+CB=HK+KF+FA+AB

(2)

將式(1)和(2)投影在固定坐標系的兩個坐標軸上，得

L6cosθ6+L5cosθ5+L4cosθ4+L11-

L2cosθ2=0；

L6sinθ6+L5sinθ5+L4sinθ4-L10-

L2sinθ2=0

(3)

L6cosθ6+L8cos(θ5+α)+L3cosθ3+L9+

L11-L1cosθ1=0；

L6sinθ6+L8sin(θ5+α)+L3sinθ3-L10-

L1sinθ1=0

(4)

該機構通過齒輪傳動共用一個動力源，即原動件桿AB和EF做等速同向轉動，二者相位差θ1-θ2=θC，其中θC為定值．由此可以確定式中各角度．

分別將方程組(3)、(4)對時間求導，得出速度方程組如下：

-L6ω6sinθ6-L5ω5sinθ5-L4ω4sinθ4+

L2ω2sinθ2=0；

L6ω6cosθ6+L5ω5cosθ5+L4ω4cosθ4-

L2ω2cosθ2=0

(5)

-L6ω6sinθ6-L8ω5sin(θ5+α)-L3ω3sinθ3+

L1ω1sinθ1=0；

L6ω6cosθ6+L8ω5cos(θ5+α)+L3ω3cosθ3-

L1ω1cosθ1=0

(6)

其中ω2=ω1為原動件的角速度．求解方程組(5)和(6)即可確定式中各角速度．理想的設計方案要求桿CDG在純滾剪切過程中相對于機架產生純滾運動．在整個純滾剪切過程中，速度瞬心P相對于從動件CDG形成動瞬心線，相對于機架形成定瞬心線，分別對應圖1中的曲線P1和P2．

為了便于定坐標系和動坐標系間的坐標變換，在桿CDG的運動平面上引入動坐標系G-xGyG．記速度瞬心P在定坐標系和動坐標系中的坐標分別為(x，y)和(xm，ym)，使用坐標變換矩陣將各點從動坐標系變換到定坐標系中，則兩組坐標存在如下關系：

r=MHGMGLrm

(7)

其中r=(xy1)T，rm=(xmym1)T，MHG為坐標系H-xy與G-xGyG間的齊次坐標變換方程，MGL為坐標系G-xGyG與L-xmym間的齊次坐標變換方程，分別由下式給出：

(8)

式(8)中θ5與θ6分別為桿L5與L6的方位角．β1與β2分別為兩坐標系的相對轉角．記LGL為桿GL的桿長，將上式代入式(7)并對時間求導，可得

x．y．0?è?????÷÷÷=

(9)

xm=LGLω5cos(β1+β2)+

L6ω6cos(β2+θ6-θ5)；

ym=LGLω5sin(β1+β2)+

L6ω6sin(β2+θ6-θ5)

(10)

將式(10)代入式(7)，則可以得到定瞬心線方程：

x=LGL(ω5+1)cos(β1+θ5)+

L6(ω6+1)cosθ6；

y=LGL(ω5+1)sin(β1+θ5)+

L6(ω6+1)sinθ6

(11)

至此動瞬心線和定瞬心線都可以求解出來，在此基礎上即可以搜索連桿機構的最優化尺寸和桿件角度，使得機構構件的動、定瞬心線以純滾運動的方式配合運動．

2 優化設計實例

依據純滾運動特性方程和剪切性能的相關要求建立最優化目標函數和約束條件，考慮到求解的有效性和便捷性，采用遺傳算法[14]求解即可得到合適的滾剪機機構尺寸．以下以某鋼廠七連桿式滾剪機的優化設計作為實例進行說明．

2.1 滾剪機剪刃參數

滾剪機的剪刃參數與剪切過程有關，這些參數包括剪切鋼板寬度B、最大鋼板厚度Tmax、剪切重疊量S和剪切角α，如圖2所示．

圖2 滾剪機剪刃參數

鋼板寬度B確定下剪刃的寬度，剪切重疊量S確定剪切過程中上、下剪刃的重疊量，剪切角α是指下剪刃與圓弧上剪刃切線在接觸點處的夾角．

2.2 優化模型

根據剪刃參數可以求得期望的上剪刃和下剪刃廓線．建立優化模型的目的即是在滿足特定約束的條件下，獲得一組最優化機構尺寸使得瞬心線與期望的上、下剪刃軌線之間具有最小的偏差．

(1)優化變量

滾剪機的設計變量一般包括桿長、桿方位角和鉸鏈點位置，將這些設計變量作為優化變量，記為

t=(t1t2…tn)T，t∈Rn

(12)

其中的每一個元素ti(i=1，2，…，n)對應著機構的一個尺寸參數，如桿長Lj(j=1，2，…，11)和角度θk(k=1，2，…，6)等，最優設計方案可由結果向量t*表示，即最優點．

(2)優化目標函數

最優化設計的目標是使動瞬心線盡量逼近上剪刃廓線，同時定瞬心線盡量逼近下剪刃廓線．基于此，將目標函數定義為兩對曲線的吻合誤差和，即動瞬心線與上剪刃廓線的吻合誤差加上定瞬心線與下剪刃廓線的吻合誤差，由下式給出：

minU(t)
U(t)=U1(t)+U2(t)

(13)

其中U1(t)為動瞬心線與上剪刃廓線的吻合誤差，U2(t)為定瞬心線與下剪刃廓線的吻合誤差．分別在上剪刃平面和下剪刃平面上建立用于評估吻合誤差的坐標系Om-xmym和O-xy，如圖3和4所示．

圖3 動瞬心線與圓弧上剪刃

圖4 定瞬心線與水平下剪刃

坐標系Om-xmym固定在圓弧上剪刃平面上，隨之轉動，動瞬心線和上剪刃廓線表示為

ym=gmt(xm)
ym=fm(xm)；xm1≤xm≤xmn

(14)

坐標系O-xy固定在水平下剪刃平面上，相對機架固定，定瞬心線和下剪刃廓線表示為

y=gt(x)
y=f(x)=C；x1≤x≤xn

(15)

其中xn-x1=B，C是常數，對應著鋼板剪切位置．

誤差U1(t)和U2(t)由下式確定：

(16)

(17)

據此純滾剪切機構設計的最優化目標函數可以表示為

(18)

(3)約束條件

滾剪機設計的約束條件主要是一些運動參數和剪切性能參數，包括開口度、上下剪刃的剪切重疊量誤差和剪切力峰值．

①開口度約束

為了保證被剪鋼板能夠順利通過，剪切結束后上下剪刃應能產生足夠的間距，該間距稱為上下剪刃間的開口度，記為J．開口度是設計變量的函數，應大于鋼板的厚度T，即

J(t)≥T

(19)

②重疊量誤差約束

為獲得穩定的剪切質量，剪刃在板寬方向的重疊量應限制在一定范圍．該值由上剪刃動態最低點k與下剪刃的距離確定，如圖5所示．k點在定坐標系中的坐標由下式給出：

xk=xh-Rsinβ
yk=yh-R(1-cosβ)

(20)

其中R和β分別為上剪刃的圓弧半徑和傾角；(xh，yh)為上剪刃圓弧中點h在定坐標系中的坐標．據此可得重疊量誤差約束

|ΔS|=|C-yk-S|≤0.1S

(21)

其中S為理論重疊量．

圖5 上剪刃動態最低點k與剪刃圓弧中點h

③剪切力峰值約束

上剪刃的受力主要包含剪切力和摩擦力等，為保護剪刃，引入剪切力峰值約束以限制通常出現在初始剪切階段的最大剪切力．滾剪機的剪切力[15]可由下式求得：

(22)

其中T為鋼板厚度，σb和δ為鋼板材料的強度極限和延伸率，Z為轉換系數，r1為剪刃間隙與板厚之比，r2為剪刃下側到鋼板距離與板厚之比．上式表明剪切力約束可通過對剪切角α的處理實現，因此可將極限剪切角限定在指定的剪切角α0以上，即

αst≥α0

(23)

其中αst為上剪刃初始剪切角，由上剪刃圓弧與被剪鋼板位置的幾何關系所確定，即

(24)

其中(xo，yo)和(xq，yq)分別為上剪刃圓弧的圓心和鋼板上表面初始剪切接觸點在固定坐標系中的坐標．

通過求解上述滾剪機尺寸優化模型即可得到一組最優解t*，對應著滿足上下剪刃間純滾運動要求的最佳機構尺寸．由于模型的目標函數一般為多峰、非線性的，故本文采用遺傳算法來求解該優化問題．

3 結果與分析

3.1 優化結果

以某鋼廠七連桿式滾剪機作為設計實例，如圖6所示．滾剪機的原始機構尺寸為AB=EF=115 mm，BC=ED=865 mm，AF=CD=2 400 mm，DG=862 mm，HG=800 mm，F點坐標為(-1 624，988)．使用真實的鋼板剪切剪刃參數進行設計，如表1所示．

圖6 滾剪機機構示意圖

表1 滾剪機的剪刃參數

使用各桿桿長和兩曲柄的初始相位角作為優化變量，將式(15)中的常數C設定為-400 mm，選擇初始剪切角約束為αst≥1.5°．建立滾剪機優化模型并使用遺傳算法求解，即可得到新的機構尺寸設計結果，最后設計出的滾剪機機構尺寸為AB=EF=115 mm，BC=ED=864 mm，AF=CD=2 400 mm，DG=856.68 mm，HG=807 mm，固定鉸鏈F點坐標為(-1 638，1 033)；桿AB的初始相位角為113.8°．

3.2 運動與性能分析

優化結果最重要的運動性能是保證滾剪機上、下剪刃間的純滾運動，即動瞬心線和定瞬心線和上、下剪刃廓線之間具有最小的偏差，通常使用圓弧上剪刃的動態最低點跡線和上剪刃水平滑移量作為評價指標[12]．剪切性能一般使用剪切角和剪切力作為新舊設計結果的評價指標．

圖7分別為新舊兩種設計方案的定瞬心線與水平下剪刃廓線．優化設計后的定瞬心線相比原方案在剪切階段具有更好的直線度，即能更好地逼近下剪刃廓線．

圖8分別為新舊兩種設計方案的動瞬心線與圓弧上剪刃廓線．新設計方案的動瞬心線近似于對稱的圓弧，這意味著動瞬心線能夠更好地逼近上剪刃的圓弧形廓線，這與滾剪機優化模型中的目標函數是一致的．

(a) 原方案

(b) 新設計方案

圖7 定瞬心線與水平下剪刃廓線

(a) 原方案

(b) 新設計方案

圖8 動瞬心線與圓弧上剪刃廓線

Fig.8 Moving centrode and lines of upper arc shear blade

圖9和10分別為上剪刃圓弧中點在完整工作周期和剪切階段的跡線．可以看出，新設計方案上剪刃在鋼板剪切過程中的水平滑移量明顯小于原方案，上剪刃更接近純滾運動．

圖11為上剪刃動態最低點集合的跡線，在鋼板剪切階段該跡線近似為一條直線，其直線度反映了上、下剪刃重疊量的均勻性．原方案的圓弧上剪刃動態最低點在剪切階段的跡線點集標準差為1.890 mm，優化設計后該值變為0.352 mm，降低了81.4%，使得設計后的上、下剪刃重疊量更加均勻，也意味著更好的鋼板剪切質量．

(a) 原方案

(b) 新設計方案

(a) 原方案

(b) 新設計方案

(a) 原方案

(b) 新設計方案

圖12為設計前后剪切角和剪切力在鋼板剪切過程中的變化曲線．原方案的初始剪切角為0.9°，其后剪切角大致穩定在2.2°左右；新設計方案的滾剪機初始剪切角變為約1.5°．初始剪切角的變化帶來了剪切力峰值的改善，原方案的剪切力峰值為1.7×107N，優化設計后該值為1.2×107N，降低了約29.4%．從圖中也可以看出，剪切力峰值大致與剪切角成反比關系，因此可以采用提高剪切角的方法降低剪切力峰值．

(a) 剪切角

(b) 剪切力

圖12 設計前后的剪切角與剪切力對比

Fig.12 Comparison of shear angle and stress before and after the design

4 結 語

本文提出一種基于瞬心線優化的純滾剪切機構的設計新方法，通過使用遺傳優化算法求解模型即可得到一組最優化機構尺寸，使得機構瞬心線與純滾動接觸線的誤差最小化．該方法應用于某鋼廠的七連桿式滾剪機設計，與原方案相比：

(1)新設計方案的上剪刃動態最低點跡線點集標準差降低了81.4%，使得設計后的上、下剪刃重疊量更加均勻，從而獲得了更好的鋼板剪切質量．

(2)新設計方案的上剪刃水平滑移量明顯低于原方案，有利于減少上剪刃磨損，提升剪切效率和剪板質量．

(3)新設計方案的剪切力峰值相比原方案降低了約29.4%，這有利于提高滾剪機的動力性能，延長使用壽命．

本文所提出的設計模型和方法不僅適用于七桿式純滾剪切機構設計，而且可以擴展到其他類型的連桿式純滾機構設計中．此外，在后續研究中也可以選擇不同的優化求解方法以獲得更好的計算結果．

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