疊加法求均勻帶電球體電場問題

郭泓昊 張雅男 李慶芳

(南京信息工程大學(xué)，江蘇 南京 210044)

大學(xué)物理在靜電場章節(jié)中，先是講解了點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度計(jì)算方法，然后利用場強(qiáng)疊加原理先后求出均勻帶電圓環(huán)、均勻帶電圓盤等電荷均勻分布的帶電體軸線上的電場分布。而對于均勻帶電球體的電場分布，一般是在講解過靜電場中的高斯定理后，利用高斯定理來求解。因?yàn)槔酶咚苟ɡ砬蠼饩鶆驇щ娗蝮w的電場無論從物理概念還是計(jì)算方面都是簡單易懂的。課堂上求解均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的電場強(qiáng)度，是將其分解為無數(shù)個(gè)電荷微元，求每個(gè)電荷微元在軸線上的電場矢量和，求解均勻帶電圓盤軸線上電場強(qiáng)度也是相同的方法[1-3]。學(xué)過該方法后，有的同學(xué)想利用這種方法求解均勻帶電球體外的場強(qiáng)分布卻得到了錯(cuò)誤結(jié)果，但各種教材中沒有給出相關(guān)的推導(dǎo)。查閱了若干文獻(xiàn)，雖然也介紹了求解方法，但這些方法都是先求出圓盤的電勢，然后利用電勢梯度求出場強(qiáng)分布[4-6]。這種方法是靜電場章節(jié)最后的知識(shí)點(diǎn)，而且還要利用泰勒展開來討論電場分布。對于初學(xué)靜電場知識(shí)的同學(xué)，有一定的難度，理解上也不如電荷微元疊加方法簡單。為此，本文作者根據(jù)自己的理解，將符號(hào)函數(shù)引入均勻帶電圓盤電場計(jì)算公式，然后利用該公式，根據(jù)電場疊加原來推導(dǎo)出均勻帶電球體的電場分布。雖然數(shù)學(xué)計(jì)算略微復(fù)雜，但物理概念清晰，有利于同學(xué)理解微元法在物理中的應(yīng)用。

1 疊加法求解均勻帶電球體場強(qiáng)

大學(xué)物理教材中對于求解均勻帶電球體在空間中產(chǎn)生的靜電場，一般是利用高斯定理求解[3]。已知球體半徑為R，電荷體密度為ρ，與球心距離為r的場點(diǎn)處，其電場強(qiáng)度大小為

(1)

大學(xué)物理課本中，在講解高斯定理求解電場強(qiáng)度之前，是利用對電荷微元在場點(diǎn)的電場強(qiáng)度求矢量和來計(jì)算不同帶電體的電場[3]。筆者并不滿足于直接由高斯定理求解均勻帶電球體在空間中產(chǎn)生的場強(qiáng)大小，也利用上述方法計(jì)算均勻帶電球體產(chǎn)生的電場，計(jì)算過程如下。

如圖1所示，以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系。令所求場點(diǎn)P位于坐標(biāo)軸Z軸上，且坐標(biāo)為(0,0,a)。根據(jù)球體的對稱性，此處只討論上半球體，即a>0。將均勻帶電球體分解成無數(shù)個(gè)均勻帶電圓盤體積微元。大學(xué)物理教材中均勻帶電圓盤軸線外一點(diǎn)處場強(qiáng)公式[3]為

(2)

圖1 均勻帶電半球示意圖

式中，σ為圓盤電荷面密度;R為圓盤半徑;x表示圓盤軸線上的場點(diǎn)位置。利用公式(2)可以求出均勻帶電球體分解出的每一個(gè)均勻帶電圓盤體積微元在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度dE。

(3)

經(jīng)計(jì)算，得到結(jié)果

(4)

顯見，當(dāng)a>R時(shí)，即場點(diǎn)位于球體外，結(jié)果與利用高斯定理計(jì)算結(jié)果相同。但當(dāng)0≤a

2 引入符號(hào)函數(shù)的均勻帶電圓盤軸線上場點(diǎn)的電場強(qiáng)度

既然推導(dǎo)過程沒有錯(cuò)誤，那錯(cuò)誤應(yīng)該出現(xiàn)在所用的公式上。重新檢查均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)場強(qiáng)公式(2)，發(fā)現(xiàn)如果將其理解為計(jì)算得到場強(qiáng)的矢量解，則場強(qiáng)不滿足對稱性，即不滿足E(r)=-E(-r)。原來，公式(2)中的x僅表示坐標(biāo)原點(diǎn)到P點(diǎn)的距離，故得到的場強(qiáng)E始終為正，只表示場強(qiáng)大小。筆者認(rèn)為式(2)中的x為矢量坐標(biāo)，計(jì)算得到的E值的正負(fù)可以確定場強(qiáng)方向，這才導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果。但課堂中，老師強(qiáng)調(diào)電場強(qiáng)度是一個(gè)矢量，能否利用公式計(jì)算出的場強(qiáng)就是矢量呢？筆者試圖自己推導(dǎo)出均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)場強(qiáng)矢量計(jì)算結(jié)果。

圖2 均勻帶電圓盤示意圖

如圖2所示，設(shè)圓盤半徑R，電荷面密度為σ，令圓盤中心到軸線一點(diǎn)P的距離用一帶有符號(hào)的標(biāo)量r0表示，r0的符號(hào)選取原則為，設(shè)定圓盤一側(cè)的場點(diǎn)與圓盤中心的距離為正，則另一側(cè)為負(fù)。根據(jù)均勻帶電圓環(huán)軸線上場強(qiáng)公式可得某一圓環(huán)微元在P點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)為

(5)

圖3 3種情形(a) 體積微元圓盤位于場點(diǎn)下側(cè); (b) 場點(diǎn)位于圓盤體積微元中心; (c) 體積微元圓盤位于場點(diǎn)上側(cè)

式中,r為選取的圓環(huán)微元的半徑。考慮到dq=σ2πrdr，對整個(gè)圓盤積分，可得

(6)

代入上下限，可求出均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)場強(qiáng)為

(7)

經(jīng)過整理，利用符號(hào)函數(shù)[7]，得到均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)的電場強(qiáng)度計(jì)算式

(8)

無論圓盤帶電量是正還是負(fù)，其兩側(cè)的電場強(qiáng)度方向一定相反。則求解場點(diǎn)與圓盤中心的距離為正的一側(cè)的電場強(qiáng)度時(shí)，上式中sgn(r0)=1，反之，sgn(r0)=-1。如此，根據(jù)式(8)計(jì)算均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)電場場強(qiáng)，可以滿足E(r0)=-E(-r0)，即圓盤兩側(cè)距圓盤中心相同距離的兩個(gè)場點(diǎn)，其電場強(qiáng)度大小相等，方向相反。同時(shí)，由于符號(hào)函數(shù)定義了sgn(0)=0，所以利用式(8)求解圓盤中心的電場強(qiáng)度為零，而利用式(2)計(jì)算時(shí)，中心場強(qiáng)不為零，這也說明了式(2)的局限性。與式(2)相比，式(8)中將圓盤中心到場點(diǎn)的距離用符號(hào)函數(shù)來代替，這樣就可以清楚地表示出當(dāng)場點(diǎn)位于圓盤不同側(cè)面時(shí)，場點(diǎn)的電場強(qiáng)度方向與圓盤之間的相對關(guān)系。筆者查閱了許多大學(xué)物理教材，雖然有部分教材對此有說明[8，9]，但絕大多數(shù)教材中均勻圓盤軸線上的電場強(qiáng)度計(jì)算公式仍采用式(2)計(jì)算，并且對公式(2)中的x定義不明確，有的只在圖中標(biāo)出x，很容易使讀者誤解距離x為P點(diǎn)的矢量坐標(biāo)，而利用公式(2)也只求解出場強(qiáng)大小，其方向還需另行說明[8，9]。也有其他的方法來計(jì)算均勻圓盤軸線上的電場強(qiáng)度[10]，但式(8)給出的結(jié)果，更為簡單，清晰。

既然得到了更為準(zhǔn)確的均勻圓盤軸線上的電場強(qiáng)度計(jì)算式，利用其重新求解均勻帶電球體內(nèi)一點(diǎn)電場強(qiáng)度，驗(yàn)證一下結(jié)果是否正確。

3 疊加法求解均勻帶電球體場強(qiáng)

如圖3所示，仍取圖1所示坐標(biāo)系，考慮P位于球體內(nèi)且在z軸正半軸的情況。對于組成球體的任意均勻帶電圓盤微元會(huì)出現(xiàn)3種情況：帶電圓盤微元在P上側(cè)，即z>a；帶電圓盤微元中心與P重合，即z=a；帶電圓盤微元在P下側(cè)，即z

如前所述，將式(8)中相關(guān)物理量變換，統(tǒng)一積分變量，可以得到均勻帶電球體的場強(qiáng)求解式。因?yàn)槭?8)中有符號(hào)函數(shù)，而根據(jù)前文分析，可以用積分變量z來判斷所求場點(diǎn)位于當(dāng)前圓盤微元的上側(cè)還是下側(cè)，即用z來確定符號(hào)函數(shù)的取值。

利用圓盤微元求解均勻帶電球體場強(qiáng)，積分變量的范圍為-R～R。如圖3所示，將圓盤微元分成在場點(diǎn)上側(cè)和下側(cè)后，利用式(8)可將式(3)變換為

(9)

不同位置的圓盤位于場點(diǎn)的不同側(cè)，當(dāng)z的積分范圍為-R～a時(shí)，圓盤微元位于所求場點(diǎn)P的下側(cè)，r0符號(hào)與a-z同為正，如圖3(a)所示；當(dāng)z的積分范圍為a～R時(shí)，圓盤微元位于所求場點(diǎn)P的上側(cè)，r0符號(hào)與a-z同為負(fù)，如圖3(c)所示。

4 結(jié)語

先計(jì)算出帶電微元在場點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，然后對帶電體求場強(qiáng)的矢量和。利用這種場強(qiáng)疊加法求解電荷均勻?qū)ΨQ分布的帶電體的電場是大學(xué)物理教學(xué)中的重要內(nèi)容。根據(jù)現(xiàn)有大多數(shù)教材給出的均勻帶電圓盤軸線場強(qiáng)計(jì)算式(2)，由于說明不清，很容易會(huì)錯(cuò)誤的理解為場強(qiáng)的矢量結(jié)果，因此，得到的均勻帶電球體場強(qiáng)也是錯(cuò)誤的。本文引入符號(hào)函數(shù)，重新推導(dǎo)了均勻帶電圓盤軸線場強(qiáng)計(jì)算式。該公式不僅可以計(jì)算出場強(qiáng)的大小，也清楚的表示出場強(qiáng)相對于圓盤的方向。根據(jù)場強(qiáng)疊加法利用該公式求解均勻帶電球體的電場分布，得到了正確的結(jié)果。若大學(xué)物理教材中對均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)場強(qiáng)公式進(jìn)行補(bǔ)充說明，或采用式(8)代替式(2)，雖然改動(dòng)微小，但表達(dá)清晰準(zhǔn)確，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)物理知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

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