基于雙曲折現的跨期消費和投資組合的一種解析

陳前達+楊湘豫

摘 要 通過在默頓（1969年，1971年） 的經典模型中引入Harris和Laibson （2013年）的隨機雙曲偏好，研究得到了針對常絕對風險厭惡效用函數的最優消費和投資組合的解析解.與默頓的結果相比，發現消費與財富盡管仍有線性關系，但其比例再也不是一個常數.投資于風險資產的比例也非固定常數，但投資于風險資產的總價值保持不變.

關鍵詞 雙曲折現；跨期消費；投資組合

中圖分類號 F830 文獻標識碼 A

Abstract By introducing stochastic hyperbolic preference of Harris and Laibson （2013） in the classical model of Merton （1969， 1971），the analytical solution of optimal consumption and portfolio on the constant absolute risk aversion utility function was obtained.Compared with the results of Merton， we find that consumption and wealth even though is still a linear relationship， but its ratio is not a constant. The ratio of investment to the risk assets is also not fixed， but the total value of the investment in the risky assets remains unchanged.

Key words hyperbolic discounting； cross period consumption； investment portfolio

1 引 言

大多數的經濟決策是跨時期的，并且涉及當前和未來的回報之間的權衡.跨期消費儲蓄和投資組合選擇問題是現代經濟和金融的一個重要問題，Merton（1969，1971）在這方面做了開創性的工作[1，2].他首先提出了最優投資組合選擇問題和消費規則，在這個連續時間模型中，個人投資者的收入是由隨機的資產回報或瞬時增長率刻畫.

折現效用理論已經成為經濟學中分析跨期選擇問題的標準框架.這個理論的一個重要組成部分就是折現函數，有常數折現率的指數折現函數是文獻中使用最廣泛的折現函數.根據Strotz（1955），這也是唯一一個導致時間一致偏好的折現函數[3].

然而，大量心理學和行為科學的證據指出，時間不一致性是人類偏好標準[4，5].雙曲折現模型已成為經濟學中刻畫時間一致偏好的最為被廣泛接受的框架.Prelec（2004）認為，“很少有經濟假設從邊緣到成為主流理論能像雙曲折現這般迅速”[6].大量的文獻討論解決了基于雙曲折現的各種各樣的經濟學問題[7-9].

在本文中，研究了有時間不一致偏好和有限生命的個人的跨期消費儲蓄和投資組合選擇問題，得到了針對常絕對風險厭惡效用函數的兩資產最優消費和投資組合問題的解析解.以往的跨期消費和投資組合問題中假設了具有常數折現率的指數折現函數，從而意味著時間一致偏好.通過在默頓的經典框架中引入Harris和Laibson （2013）的隨機雙曲折現模型[10]，得到了更貼近現實的結果.且使用的方法可以用來解決一類不確定性條件下的跨期經濟學問題.

本文對已有文獻有幾個重要的貢獻.首先，連續時間情形下，不確定性條件下的最優跨期消費策略一直由隨機動態規劃給出，引入Karp （2007）的動態規劃方法得到了最優消費和投資組合的選擇Hamilton-Jacobi-Bellman（以下簡稱HJB）方程[11].第二，得到了針對常絕對風險厭惡效用函數的閉式解.與默頓的結果相比，發現引入隨機雙曲線折現后，消費與財富盡管仍有線性關系，但其比例再也不是一個常數，投資于風險資產的比例也非固定常數，且投資于風險資產的總價值保持不變.原有文獻中雖然研究了針對具有無限生命的微觀個人在隨機雙曲折現下的最優消費和投資組合規則，但是其中所使用的方法不能應用于有限時間情形，而本文的分析可以很容易地擴展到無限時間情形.

5 結 論

本文把默頓的經典消費儲蓄和投資組合選擇問題擴展到了對象有時間不一致偏好，那么個人在做決策時就需要考慮自己偏好的改變.本文用較簡單的方法得到了有限時間和無限時間情形下的HJB方程.還得到了針對具常絕對風險厭惡的效用函數的消費和投資組合選擇的解析解.此模型還可以做進一步擴展，首先，僅假設了兩個資產，可擴展到多資產的情形；其次，本文與默頓模型一樣假設了完備市場，還可以考慮具有多種市場摩擦的不完備市場，這將與現實更貼近；最后，也可以考慮個人投資者的生命是一個隨機變量，可以預見的是，這將大大增加模型的復雜程度，但會得到更合理的結論.

參考文獻

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[2] MERTON R C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model[J]. Journal of Economic Theory ， 1971.：3（4）， 373-413.endprint

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