基于切比雪夫加權(quán)的面陣波束形成方法

劉 豪 ，余金培 ，梁 廣

（1.中科院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所上海200050；2.上海微小衛(wèi)星工程中心上海201203）

陣列天線由多個天線陣元組成，利用波的干涉原理使陣列在某一特定方向的增益增強。而在某些特定場合，如衛(wèi)星與地面通信或者雷達天線，由于距離較遠(yuǎn)雜波干擾大，所以對低副瓣的要求極高。如果對陣列天線的激勵不作任何加權(quán)處理，其第一副瓣電平理論值大約為-13.4 dB，達不到相控陣?yán)走_對副瓣電平的要求。切比雪夫加權(quán)陣列就是一種能兼顧主瓣波束寬度和旁瓣高度的數(shù)字波束形成的最優(yōu)陣列。它的特點是：在給定的旁瓣高度下能提供最窄的主瓣波束，在給定主瓣波束寬度下能提供最低的旁瓣高度。傳統(tǒng)的切比雪夫加權(quán)陣列僅局限于一維線陣，而很多應(yīng)用中使用的都是二維平面陣列。未解決這一問題，本文提出了兩種均勻面陣的切比雪夫權(quán)值計算方法，即二維切比雪夫多項式近似法和二維窗函數(shù)法，將一維切比雪夫陣列推廣至二維，并仿真驗證其可行性和有效性。

1 切比雪夫線陣波束形成

切比雪夫波束形成主要依托于切比雪夫多項式的性質(zhì)。切比雪夫多項式是微分方程的解，其n階多項式可表示為：當(dāng)由于當(dāng)x的取值范圍在[-1，1]時，Tn(x)的值均在[-1，1]之間震蕩，且Tn(x)=0 的解的個數(shù)為n，均位于[-1，1]之間，并分布在對稱于x=0的位置，當(dāng)x＞1時，Tn(x)遞增。切比雪夫多項式滿足如下的遞推關(guān)系式：時，；當(dāng)

根據(jù)（1）式可以很方便的推導(dǎo)出各階切比雪夫多項式的具體表達式。

陣元間距為d的N元均勻線陣，假定N為偶數(shù)，則其方向圖可表示為：

式中，β=2πd?sinθ/λ，λ為信號波長。由切比雪夫多項式的性質(zhì)可知，若N元陣列方向圖與N-1階切比雪夫多項式曲線一致，則該陣列具有最佳方向性，所有旁瓣高度相同且可控，由此可設(shè)計切比雪夫加權(quán)天線陣列。假設(shè)要求陣列方向圖的主旁瓣比為S。則有TN(x0)=S，可解得。為了使切比雪夫多項式與陣列天線方向圖函數(shù)對應(yīng)，令，則結(jié)合可解出陣列系數(shù)In。具體公式如下：

切比雪夫陣列零點值：

根據(jù)f(θn)=0，給定第N/2個陣元的幅值為IN/2，則第1到N/2-1個陣元的幅值可由式（3）求得[1]：

2 切比雪夫面陣波束形成

2.1 二維切比雪夫多項式近似法

假設(shè)均勻面陣x方向和y方向陣元間距分別為dx、dy，θ,φ分別代表方位角和俯仰角，Im,n代表陣元的初始復(fù)激勵。則陣列方向圖為：

式中：u=sinθcosφ，v=sinθsinφ。根據(jù)工程實際需要，選擇x方向、y方向等間距的4×4均勻面陣，則由于均勻平面陣列的對稱性，可將方向圖化簡為：

考慮用兩個切比雪夫多項式相乘來模擬切比雪夫陣列，則可構(gòu)造二維切比雪夫多項式，如下：

取m=3，n=3，主旁瓣比S，三階切比雪夫多項式為T3(x)=4x3-3x，則由于陣列x方向和y方向?qū)ΨQ，故x0=y0，令帶入上式并與（5）式聯(lián)合可求得系數(shù)I1,1,I1,2,I2,1,I2,2，再由對稱性可求得各個陣元系數(shù)。

由于該方法將兩個一維函數(shù)相乘模擬二維函數(shù)，所以二維切比雪夫多項式近似法僅在θ=0°和φ=0°時達到最優(yōu)，在波束指向角為其它任意角度的時候，用該方法求得陣列系數(shù)的方向圖旁瓣高度雖有一定的優(yōu)化，但并未達到理想的抑制旁瓣的效果。并且當(dāng)陣元數(shù)很大時，公式的推導(dǎo)和計算量很大，實現(xiàn)起來較為麻煩。下面引入二維窗函數(shù)法實現(xiàn)一維到二維的轉(zhuǎn)換。

2.2 二維窗函數(shù)法

根據(jù)一維N階切比雪夫多項式可輕松推導(dǎo)出N階切比雪夫系數(shù)，該系數(shù)是包含N個元素的一維向量。對于規(guī)則的平面陣列，可考慮使用一維窗函數(shù)來構(gòu)造二維窗函數(shù)。通常的構(gòu)造方法有兩種：一種方法是將兩個一維窗函數(shù)直接相乘，得到二維窗函數(shù)，如下式所示：

式中w1(m)和w2(n)是一維窗序列（函數(shù)），wR(m,n)是二維目標(biāo)窗序列（函數(shù)）。顯然wR(m,n)具有矩形支持區(qū)域。此方法由于是把兩個一維矢量相乘得到參數(shù)矩陣，所以根據(jù)二維窗的性質(zhì)，該方法不具有最優(yōu)的效果。

另一種方法是通過以一維窗函數(shù)w(x)為軸旋轉(zhuǎn)w(x)得到圓形軸對稱的二維窗函數(shù)，如式：

根據(jù)其傅里葉變換分析可知，如果一維的窗函數(shù)具有優(yōu)良的性質(zhì)，則其構(gòu)造的二維窗函數(shù)亦具有較好的性質(zhì)。也可將切比雪夫窗在頻域旋轉(zhuǎn)，然后進行傅里葉反變換得到時域窗函數(shù)，該方法公式推導(dǎo)較為麻煩，本文不展開詳細(xì)推導(dǎo)。常用的二維海明窗、凱森窗等都是通過其一維窗的旋轉(zhuǎn)變換獲得的。文中采用時域旋轉(zhuǎn)法來構(gòu)造二維切比雪夫窗函數(shù)，可利用MATLAB對時域旋轉(zhuǎn)做一些改進，計算二維切比雪夫系數(shù)矩陣。限于篇幅，本文不對具體計算二維切比雪夫系數(shù)的過程加以展開，僅給出通過兩種窗函數(shù)法計算的陣列系數(shù)。

3 仿真及性能分析

3.1 切比雪夫線陣仿真

選取8個全向天線組成陣元間距為d的均勻線陣，陣元間距與波長比d/λ=0.5，旁瓣增益為-40 dB，則根據(jù)前面推導(dǎo)的公式計算各個陣元切比雪夫系數(shù)為：

波束指向角分別為θ=0°及θ=20°時，仿真結(jié)果如圖1和圖2所示。

圖1 波束指向角為0°

圖2 波束指向角為20°

觀察圖1和圖2可知，切比雪夫陣列對波束的旁瓣有很好的抑制效果，并且副瓣電平是可控的，即可通過設(shè)置目標(biāo)副瓣電平來計算對應(yīng)的陣元權(quán)值系數(shù)。通過對比圖1和圖2可知，切比雪夫加權(quán)可與相位控制同時進行，在調(diào)整波束指向角的同時也可以壓低旁瓣。但在抑制旁瓣的同時，也會展寬主瓣波束，所以工程應(yīng)用中需結(jié)合實際情況來對二者取折中。

3.2 切比雪夫面陣波束形成仿真

結(jié)合工程中實際使用的4×4均勻面陣，x方向和y方向陣元間距dx=dy=0.0192 m，陣列天線的中心頻點為8.36 GHz，旁瓣高度為-20 dB。分別應(yīng)用二維切比雪夫多項式近似法以及二維窗函數(shù)法計算陣列各個陣元的系數(shù)如表1和表2所示。

表1 二維切比雪夫多項式近似法陣元系數(shù)

表2 二維切比雪夫窗函數(shù)法陣元系數(shù)

MATLAB仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3上面三幅圖是俯仰角θ及方位角φ聯(lián)合的三維方向圖，下面三幅圖是俯仰角θ=0°的一個剖面，可以較直觀的反映旁瓣抑制度。左圖是4×4均勻面陣的各全向陣元的幅度激勵均為1，即采用等幅激勵情況下的方向圖；中圖是采用二維切比雪夫多項式近似法計算得到的陣列系數(shù)，仿真得到的方向圖；右圖采用的是二維窗函數(shù)法中的旋轉(zhuǎn)法計算得到的陣列系數(shù)，據(jù)此仿真的方向圖。通過對比圖3左、中、右三幅圖可以發(fā)現(xiàn)，采用二維切比雪夫多項式近似法的旁瓣高度為-18 dB左右，采用切比雪夫窗函數(shù)法的旁瓣高度略小于-20 dB，效果稍好于二維切比雪夫多項式法。而不采用切比雪夫加權(quán)時的旁瓣高度大約是-12 dB，明顯劣于切比雪夫陣列。所以以上兩種切比雪夫波束形成方法都對均勻平面陣列的旁瓣有較好的抑制效果。但是，和一維切比雪夫陣列仿真的方向圖一樣，主瓣波束均有不同程度的展寬。而且由于陣元數(shù)較少，所以對旁瓣的抑制程度不如線陣明顯。

同時可以發(fā)現(xiàn)，二維切比雪夫陣列的旁瓣的可控性明顯劣于一維切比雪夫陣列，主要原因是因為一維向二維轉(zhuǎn)換的過程中，并不能維持切比雪夫多項式的[-1，1]區(qū)間函數(shù)值以及零點分布的性質(zhì)。所以關(guān)于二維切比雪夫陣列還有一定的解析優(yōu)化空間。

4 結(jié)束語

文中首先分析了切比雪夫多項式的性質(zhì)，并將切比雪夫多項式與一維線性陣列天線的方向圖函數(shù)結(jié)合，推導(dǎo)了切比雪夫陣列系數(shù)的公式，完成了切比雪夫加權(quán)陣列的仿真。重點提出了二維切比雪夫多項式近似法以及二維切比雪夫窗函數(shù)法，通過此兩種方法將切比雪夫多項式從一維推廣至二維，實現(xiàn)了切比雪夫面陣波束形成，通過MATLAB仿真驗證了二維切比雪夫波束形成的可行性，并且較好的旁瓣抑制效果。隨著陣列天線的進一步發(fā)展，陣列的多元化已成為必然的趨勢，針對特殊陣列或者不規(guī)則陣列的旁瓣抑制等還有待研究改進。

圖3 二維切比雪夫陣列仿真方向圖

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