露天礦采礦作業計劃的二元整數規劃數學模型

黃 敏 李學華 賈 民(.廣州南洋理工職業學院，廣東 廣州 50980；2.中國礦業大學礦業工程學院，江蘇 徐州 226;3.深部煤炭資源開采教育部重點實驗室，江蘇 徐州 226;.兗州煤業股份有限公司濟寧二號煤礦，山東 濟寧 272000)

對于露天礦年度作業計劃來說，邊界品位優化問題是一個重要的研究挑戰。在礦產資源行業，通過每個時期的最優邊界品位計算可以獲得相當大的經濟效益，從而最大化采礦項目的凈現值(net present value，NPV)[1]。因此，露天采礦作業中與礦塊開采順序相關的，最復雜的問題之一就是邊界品位選擇。

邊界品位直接影響到項目壽命期內采礦作業的經濟可行性。為了得到給定項目的更高整體凈現值，需要選擇適當的邊界品位策略。在采礦順序的初始階段，更高的邊界品位會導致每噸礦石的平均等級更高，因此，可以通過礦床的品位分布研究來實現更高的平均品位[2]。采礦項目的成功與否直接取決于邊界品位的選擇。因此，在礦山開采中，邊界品位優化是必不可少的[3]。

文獻[4]提出了一種基于遺傳算法和拓撲排序相結合的作業計劃優化方法，但不能保證最終解決方案的質量。文獻[5]使用幾種策略相結合來減少計算時間。Nasab等人在文獻[5]基礎上，提出了一種聚集并應用了拉格朗日松弛原理[6]。到目前為止，這些模型不能滿足每一階段內品位混合的質量要求。文獻[7]對不同的作業技術和建模問題開展了廣泛的調查。任何給定時期的動態邊界品位可以視為這一時期關于礦石供應和銑削需求的一個函數。研究人員不斷嘗試通過各種計算機處理方法來實現露天礦開采順序優化。但是由于具有許多相關的變量，現有方法都沒有得到廣泛的認可。

眾所周知，忽略采礦順序中這些變化對最優邊界品位的影響，將導致不切實際的礦山設計和分析。因此，本研究提出了一種新的二元整數規劃模型來求解開采順序問題。介紹了邊界品位對開采順序的影響。給出了以礦塊經濟損失評估和礦體品位概率分布為基礎的公式。通過物理約束將一個礦塊的經濟損失評估與概率集成在一個二元整數規劃模型[8]中。該模型的最終目標是設定最佳開采順序，同時優化礦山各時期的邊界品位。

1 露天礦邊界品位優化的必要性

邊界品位分析，一般來說可以解決以下問題：

(1)礦床中的哪些塊段值得開采和加工，如果不是，則應該被認為是廢石。

(2)一旦開采，該如何加工。

實際上，邊界品位計算的目的是為了發送從礦山中提取的礦物，圖1顯示了基于邊界品位的決策準則。

圖1 基于邊界品位的決策準則Fig.1 Decision criteria based on boundary grade

一個靜態邊界品位不具備在不同情況下實現利潤最大化所需的靈活性[4]。邊界品位優化是一個相互作用的過程，包括金屬價格、采礦成本、加工成本、加工能力、采礦作業能力、開采順序、礦床品位分布以及由此產生的現金流。礦塊的加工決策在采掘順序變更中起主要作用。在礦山開采過程中，由于礦山凈現值遞減效應的變化，使得礦山開采階段的開采效果會發生很大的變化。因此，在采礦順序中應同時考慮邊界品位的優化[4]。邊界品位優化是采礦作業中最重要的課題之一：

(1)邊界品位優化用于加工類型(銑削/礦物堆浸/廢石堆浸/廢棄)的決策問題，以確定哪種決策決定了最大的經濟利潤。

(2)邊界品位優化可改善礦山開采順序。

2 考慮動態邊界品位的開采順序公式

2.1 定 義

在開采順序問題中，每個階段內每個塊的開采取決于邊界品位的定義。邊界品位決定塊分類。對一個塊的錯誤分類會導致錯誤的礦塊經濟價值計算結果。在這方面，文獻[9]定義了一種“經濟損失”函數，用來區分礦石和廢石。與每種加工類型d(d=1，2，……D，從最低等級到最高等級排序)相關的實際經濟損失可以用以下等式計算：

(1)

從式(1)可以看出，如果塊ijk正確選擇加工類型，那么經濟損失為零。在實踐中，礦塊是未知的，它將用累積分布函數來表示。一個較實際的方法是使用條件模擬技術，它能夠實現一定數量同等概率的塊級。考慮到這一點，根據每一種加工處理的概率分布和平均品位，對每一個選擇d的預期經濟損失(expected economic loss，EEL)進行計算，其具體描述如下所示：

(2)

礦塊ijk的最優加工類型是具有最小EEL的d，如：

(3)

2.2 作為整數問題的公式

根據上述定義和假設，建立了整數決策變量形式的開采順序數學規劃模型[11]，并在此基礎上確定了特定塊的開采時期及其目的地。事實上，該模型可以同時優化礦塊開采順序和邊界品位。如前所述，模型的目標函數可以用數學形式表示如下：

(4)

?t，

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

約束條件(5)、(6)將送去銑削物料的平均品位限制在某一值上。約束(7)強制只在一個時期內刪除礦塊。約束(8)、(9)確保銑削能力保持不變。這些上限和下限是保證礦石順利供應所必需的。約束(10)、(11)與每個時期實際可用的設備容量相關。約束(12)是各時期各礦塊基于Y的邊坡限制。

該模型提供了一種評估可選策略的工具，可作為長期生產調度可行性研究的一部分。因此，由此產生的邊界品位有助于風險量化決策過程。

提出的數學規劃模型方法步驟如下。

(1)該模型的基礎條件為一個三維塊模型，并完成了露天最終境界圈定。

(2)在每個開采時期開始時，包括采礦和加工階段能力、采礦成本和加工類型成本以及當前金屬價格等參數已知。

(3)使用序貫高斯模擬得到了若干概率相同的礦塊模型的實現。

(4)為每個加工類型提供每個塊的經濟損失矩陣，并隨后計算每個可選d的EEL。

(5)構建混合整數規劃模型，以便根據指定的標準對每個時期內的礦塊進行最優選擇。

3 應用實例

在本節中，我們在真實的采礦區實現和測試了提出的模型，以確保礦塊開采順序的最優性和邊界品位優化。一個金礦把它的礦化產品送到4個目的地：廢料堆、廢石堆浸、礦物堆浸或銑削。這4個類型的特性列于表1中(黃金價格以10 $/g為例)。首先，利用序貫高斯模擬方法，產生了礦體金品位的一百個等概率實現。給定塊的模擬結果如表2所示。

表1 金礦床各礦化塊分類特征Table 1 Classification characteristics of mineralized blocks in gold deposits

表2 金礦床某給定塊的模擬結果Table 2 Simulation results of a given block of gold deposits

表3 礦塊分類的經濟損失結果Table 3 Economic loss results of ore block classification

例如，假設塊ijk的一個正確采礦目的地是廢石堆浸(d=3)，但卻被錯誤地送到廢料堆(d′=2)，那么由于這個造成的經濟損失評估可以從式(1)計算得到，如：

-[(10-0.5)·1.5·0.45-3.5]

=2.81.

(12)

表3顯示了d和d′其他值的經濟損失結果。如果塊ijk選擇的分類是d=2，那么由錯誤分類導致的預期經濟損失可以從式(2)得到，如：

+1.362×0.2+14.375×0.17

=2.81.

(13)

根據表3，最佳預期經濟損失是1.69，因此，這個塊的最佳目的地是d=3，這意味著最好將此塊發送到礦物堆浸。

在開采順序問題中，各時期中每塊的開采都取決于該時期的經濟價值。另一方面，由于時間和價格的變化，塊的經濟價值隨時間而變化，因此，一個時期的最優礦塊分類可能與其他時期的最優礦塊分類不同。相應地，時期t塊ijk的損失函數可由式(4)計算得到。由于經營需求，最小化的目標函數受到式(5)～式(12)的約束。

由于優化的迭代步驟既枯燥又耗時，因此開發了一個Excel電子表格，以便于計算。輸入參數包括：每個塊的計數器特征，每個塊的噸位、礦石品位和含量，每個塊的預期經濟損失?？紤]模型中決策變量和與礦塊類型相關的可用約束。我們的目標是為5 a的礦山開采作業，生成一個維持8%貼現率的時間表。

按照上一節中給出的模型步驟，并根據生產率和凈現值組合，可以得到最優的邊界品位。表4顯示了黃金礦山的最優邊界品位、相應的生產率和NPV。

表4 黃金礦山的最優邊界品位、相應的生產率和NPVTable 4 Optimum border grade，corresponding productivity and NPV of gold mine

如表4所示，在1 a期間，堆浸礦石處理將金屬含量保持在1.96%到2.36%。這就說明1.96%以下的材料被視為廢物并運到垃圾堆中。盡管如此，它仍產生一個最優凈現值。

4 結 論

本研究提出了一種基于露天礦二進制整數規劃的數學模型，能夠在考慮動態邊界品位優化的情況下優化開采順序，實現凈現值最大化。該模型能夠產生一個切實可行的加工類型計劃表，在滿足系統限制的情況下最大限度地減少預期經濟損失。雖然該模型以經濟損失為目標函數沒有直接最大化NPV，但是它提供了一個切實可行的凈現值(在同時考慮邊界品位優化和開采順序優化情況下，該凈現值是最優的)。該模型克服了傳統方法的局限性，減少了需要的變量數量，能夠在短時間內處理可用變量和約束。案例研究的結果表明，該模型具有較好的靈活性，可以有效用于各種備選方案的評估，并確保最佳的資源利用率以及準確的大型礦業投資決策。

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