雙機(jī)械手協(xié)同運(yùn)動(dòng)模型及其工作空間分析

李 情，茅 健，朱姿娜，周玉鳳

（上海工程技術(shù)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620）

0 引言

現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展和機(jī)械手技術(shù)的進(jìn)步使得機(jī)械手的性能不斷提高，機(jī)械手應(yīng)用的領(lǐng)域和范圍正不斷擴(kuò)展。為了適應(yīng)不斷提高的任務(wù)復(fù)雜性、操作智能性以及系統(tǒng)柔順性等要求，雙機(jī)械手乃至多機(jī)械手之間的協(xié)調(diào)和協(xié)同作業(yè)是機(jī)械手技術(shù)在工業(yè)環(huán)境中進(jìn)行推廣和應(yīng)用急需解決的關(guān)鍵技術(shù)之一[1]。

國(guó)內(nèi)外對(duì)雙機(jī)械手協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)做了非常多的研究工作。在國(guó)際上，Clemson大學(xué)機(jī)器人實(shí)驗(yàn)室[2]，通過(guò)控制兩臺(tái)PUMA-560工業(yè)機(jī)械手來(lái)完成搬運(yùn)實(shí)驗(yàn)；Duke實(shí)驗(yàn)室[3]，通過(guò)控制兩臺(tái)ABB-IRB140工業(yè)機(jī)械手來(lái)完成協(xié)調(diào)控制實(shí)驗(yàn)；PRISMA實(shí)驗(yàn)室[4]，通過(guò)控制兩臺(tái)SMART-3S工業(yè)機(jī)械手來(lái)完成協(xié)調(diào)插孔實(shí)驗(yàn)。在國(guó)內(nèi)，沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所采用分層結(jié)構(gòu)，根據(jù)離散控制原理建立了多級(jí)機(jī)械手控制系統(tǒng)，該系統(tǒng)成功利用PUMA-560工業(yè)機(jī)械手和PUMA-760工業(yè)機(jī)械手完成了位置控制和軌跡控制協(xié)調(diào)實(shí)驗(yàn)[5]；東南大學(xué)通過(guò)控制兩臺(tái)型號(hào)為VA1400和HP20的YASKAWA工業(yè)機(jī)械手完成了雙機(jī)械手協(xié)同焊接和搬運(yùn)實(shí)驗(yàn)[6]。

機(jī)械手的工作空間是機(jī)械手末端執(zhí)行器所能到達(dá)的范圍，是機(jī)械手運(yùn)動(dòng)靈活程度的重要指標(biāo)之一[7]，同時(shí)也是機(jī)械手是否有逆解的依據(jù)。對(duì)于雙機(jī)械手工作空間的求解主要有圖解法、解析法和數(shù)值法。圖解法和解析法對(duì)于多自由度的機(jī)械手會(huì)有無(wú)法準(zhǔn)確描述、計(jì)算繁瑣等問(wèn)題。數(shù)值法可以分析任意結(jié)構(gòu)的機(jī)械手，而且隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展得到了廣泛應(yīng)用[8]。

本文采用D-H變換矩陣法建立雙機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，揭示機(jī)械手末端執(zhí)行器在不同運(yùn)動(dòng)形態(tài)下笛卡爾坐標(biāo)空間位姿與機(jī)械手各關(guān)節(jié)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。利用MATLAB中Robotics Toolbox建立雙RCX340機(jī)械手三維仿真模型,驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的可靠性。采用蒙特卡洛法對(duì)雙機(jī)械手的工作空間進(jìn)行分析，得到雙機(jī)械手末端執(zhí)行器的最佳協(xié)調(diào)工作空間。

1 雙機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

單機(jī)械手與雙機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的整體思路相似，不同的是雙機(jī)械手需要考慮協(xié)同性與整體性。

1.1 雙機(jī)械手坐標(biāo)系的建立

本文以兩臺(tái)SCARA型機(jī)械手為研究對(duì)象，利用D-H參數(shù)方法中的關(guān)節(jié)方法建立各連桿的坐標(biāo)系，如圖1所示。首先取兩機(jī)械手操作臂的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（O0-X0Y0Z0），向兩邊增減平移坐標(biāo)至兩機(jī)械手底座中心點(diǎn)，兩機(jī)械手基礎(chǔ)坐標(biāo)系分別記為Pl-XlYlZl和Pr-XrYrZr，即為各個(gè)底座為分坐標(biāo)中心，然后依次向上延伸至各個(gè)關(guān)節(jié)處，其中L1、L2、L3與R1、R2、R3分別代表兩末端不同運(yùn)動(dòng)形態(tài)的機(jī)械手傳動(dòng)軸。雙機(jī)械手各連桿D-H參數(shù)如表1所示。

表1 雙機(jī)械手連桿的D-H參數(shù)

圖1 雙機(jī)械手運(yùn)動(dòng)關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)圖

1.2 正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

機(jī)械手的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)是指由給定的關(guān)節(jié)值求解機(jī)械手手部位姿。在機(jī)器人學(xué)中，機(jī)械手的手部姿態(tài)和位置可以用4×4階矩陣來(lái)表示：

其中為手部接近矢量；為手部姿態(tài)矢量；為手部法相矢量。此三個(gè)矢量構(gòu)成右手矢量級(jí)，即手部位置可以用從基礎(chǔ)參考系原點(diǎn)指向手部中心的矢量來(lái)表示，這里，為手部在基礎(chǔ)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。

用A矩陣描述一桿件和下一桿件之間的齊次變換關(guān)系，用Denavit-Hartenberg法得到連桿變換的一般表達(dá)式為：

將D-H參數(shù)表中的數(shù)據(jù)帶入連桿變換通式中得到相鄰連桿坐標(biāo)系之間的齊次變換矩陣為：

末端執(zhí)行器在基礎(chǔ)坐標(biāo)系位置：

這樣可得到雙機(jī)械手末端執(zhí)行器正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，即：

1.3 逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

從應(yīng)用研究的角度來(lái)說(shuō)，逆向運(yùn)動(dòng)學(xué)是機(jī)械手運(yùn)動(dòng)規(guī)劃和軌跡控制的依據(jù)。求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題是已知機(jī)械手末端執(zhí)行器的坐標(biāo)位置來(lái)計(jì)算機(jī)械手各個(gè)關(guān)節(jié)的角度值，是正向運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的反過(guò)程[9]。求解過(guò)程復(fù)雜：

利用逆變換左乘式(1)兩邊：

根據(jù)三角代換和矩陣的相關(guān)運(yùn)算可依次得出：

式中：

因雙機(jī)械手為并聯(lián)對(duì)稱放置，故同型號(hào)的兩個(gè)機(jī)械手的關(guān)節(jié)角度值分別相同，即：

2 雙機(jī)械手模型建立與分析

2.1 模型的建立

在MATLAB中建立雙RCX340機(jī)械手模型，如圖2所示。

圖2 基于Robotics toolbox的雙RCX340機(jī)械手模型

2.2 雙機(jī)械手模型分析

通過(guò)移動(dòng)圖2中代表關(guān)節(jié)角度的左右各3個(gè)滑塊驅(qū)動(dòng)雙機(jī)械手運(yùn)動(dòng)，左右滑塊q1、q2的移動(dòng)可以改變RCX340和AnotherRCX340的末端執(zhí)行器的位置，左右滑塊q3的移動(dòng)可使末端執(zhí)行器具有不同的姿態(tài)。為驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式的正確性，把機(jī)械手各桿件的幾何參數(shù)和3組隨機(jī)選取的關(guān)節(jié)變量值代入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，求得末端執(zhí)行器的位姿；然后將相應(yīng)的數(shù)據(jù)輸入到雙機(jī)械手滑塊控制面板中直接讀取實(shí)際的末端執(zhí)行器的位姿數(shù)據(jù)并進(jìn)行比較。隨機(jī)選取的3組關(guān)節(jié)變量值如表2所示。

滑塊控制面板直接讀取的值和雙機(jī)械手末端執(zhí)行器的方程求解數(shù)據(jù)比較如表3和表4所示。

表2 三組隨機(jī)關(guān)節(jié)變量

從表3中可以看出，隨機(jī)變量代入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求取的正解和滑塊控制面板直接讀取的末端坐標(biāo)數(shù)值相比誤差較小，而從表4中不僅可以看出運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解和滑塊控制面板讀取的關(guān)節(jié)角度數(shù)值誤差較小，還可以看出同型號(hào)對(duì)稱放置的左右機(jī)械手對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)角度值也是相同的。因此，驗(yàn)證了所求解的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和利用函數(shù)建立的機(jī)械手三維模型的可靠性。

3 雙機(jī)械手工作空間分析

機(jī)械手的活動(dòng)范圍是由其工作空間的大小所決定的，其形狀和尺寸在機(jī)械手設(shè)計(jì)和優(yōu)化等方面具有重要意義[10]。蒙特卡洛法基于隨機(jī)理論，是常用的求解機(jī)械手工作空間的數(shù)值方法，其基本思想是：機(jī)械手的各關(guān)節(jié)是在其相應(yīng)取值范圍內(nèi)工作的，當(dāng)所有關(guān)節(jié)在相應(yīng)取值范圍內(nèi)隨機(jī)遍歷取值后，末端點(diǎn)的所有隨機(jī)值的集合就構(gòu)成了該機(jī)械手的工作空間[11]。

利用蒙特卡洛法求取工作空間的步驟如下：

1）根據(jù)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，求出機(jī)械手末端執(zhí)行器相對(duì)于基座坐標(biāo)系的位置向量P=[px, py, pz]。

表3 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程MATLAB正解值與兩滑塊設(shè)定值比較

表4 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程MATLAB逆解值與兩滑塊設(shè)定值比較

3）將N個(gè)關(guān)節(jié)變量偽隨機(jī)值組合代入末端執(zhí)行器的位置向量P=[px, py, pz]，并將其對(duì)應(yīng)的x坐標(biāo)、y坐標(biāo)、z坐標(biāo)分別存于矩陣X、Y和Z中；坐標(biāo)值數(shù)目越多，結(jié)果就越接近雙機(jī)械手的實(shí)際工作空間。

4）將所得位置向量的值用描點(diǎn)的方式顯示出來(lái)，即可形成雙機(jī)械手工作空間。取N=100000，D=900，利用蒙特卡洛法在MATLAB中求解雙機(jī)械手的工作空間如圖3所示。

圖3 雙機(jī)械手工作空間

從圖3可知，模擬出雙機(jī)械手工作空間的形狀近似兩個(gè)橢球體相融，相融部分為雙機(jī)械手協(xié)調(diào)操作的最佳協(xié)調(diào)工作空間，末端執(zhí)行器最佳協(xié)調(diào)工作空間沿X軸的范圍為（-130，130），沿Y軸的范圍為（-360，360），沿Z軸的范圍為（-350，350）。利用邊界條件和蒙特卡洛法，進(jìn)而模擬出雙機(jī)械手最佳協(xié)調(diào)工作空間的仿真圖，如圖4所示，模擬出的最佳協(xié)調(diào)工作空間為雙機(jī)械手協(xié)調(diào)軌跡規(guī)劃提供了理論依據(jù)。

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圖4 雙機(jī)械手最佳協(xié)調(diào)工作空間

4 結(jié)論

本文建立了雙機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，揭示了機(jī)械手末端執(zhí)行器在不同運(yùn)動(dòng)形態(tài)下笛卡爾坐標(biāo)空間位姿與機(jī)械手各關(guān)節(jié)變量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所建立的雙機(jī)械手運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和基于Robotics Toolbox構(gòu)建的三維模型的可靠性，直觀地分析了機(jī)械手末端執(zhí)行器位姿和各關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系。同時(shí)，采用蒙特卡洛法對(duì)雙機(jī)械手工作空間進(jìn)行了分析，得到雙機(jī)械手末端執(zhí)行器的最佳協(xié)調(diào)工作空間，為雙機(jī)械手協(xié)調(diào)軌跡規(guī)劃提供了理論依據(jù)。

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