基于多尺度方法的混凝土非均勻破裂過程的研究

徐明 陳紅

摘要：本文主要介紹了混凝土的研究現狀和多尺度計算方法的發展概況、有限元方法、線彈性數值模擬等內容。首先，介紹了多尺度有限元方法的基本原理，包括線性邊界條件的多尺度有限元基函數的構建方法，使用超樣本技術建立振蕩邊界條件的多尺度有限元基函數的構建方法。其次，編寫多尺度有限元的計算機數值模擬程序，結合算例分析，與傳統有限元方法和解析解進行比較，驗證了擴展的多尺度有限元方法的可行性。最后，引入彈性損傷本構模型，建立混凝土拉伸破壞的數值模型，模擬混凝土裂紋由萌生、擴展到貫通破壞的全過程。

關鍵詞：擴展的多尺度有限元;非均質材料;拉伸破壞;數值模擬

1 混凝土斷裂過程力學模型的研究現狀

混凝土是一種典型的非均質材料，其內部含有微裂縫和內在缺陷，如氣泡、空穴、裂紋、夾碴等。從混凝土內部結構的亞微觀分析可知，在承受荷載前混凝土就已經存在了兩種裂紋：隨機分布的微裂紋和方向一定的宏觀裂紋。

1971年Cundall等人提出粒子模型，用于模擬固體顆粒材料，假定材料是由一些隨機分布的剛性圓形顆粒組成，用于解決連續體系的大變形問題。

唐春安、朱萬成等借用隨機概率斷裂模型中材料性質的Weibull分布假設給各組分材料進行非均勻隨機賦值，使用彈性損傷本構關系，利用有限元法模擬混凝土的損傷斷裂過程;劉光廷和王宗敏采用蒙特卡羅方法隨機生成混凝土的細觀結構，使得不同的單元擁有不同的材料性質，模擬單邊裂紋受拉試件損傷破壞的全過程;

2 多尺度計算方法的發展概況

隨著科學技術的發展，人們對物質的研究已經由宏觀尺度的層次進入到了細觀尺度的層次，甚至是進入到微觀尺度的層次。傳統的多尺度計算方法包括自適應方法和多重網格法等。

多尺度有限元方法最早由Hou和Wu提出并命名，并給出了該方法的收斂性證明。多尺度有限元的基本思想是由Babuska等人提出的使用了非多項式形式基函數的廣義有限元法。多尺度有限元方法在宏觀尺度上進行網格劃分，通過在每個宏觀單元里求解局部微分方程（在人為構造的線性邊界條件或振蕩邊界條件下）來獲得反映了細觀尺度信息的多尺度基函數，從而使細觀尺度的信息包含在了宏觀尺度的解里。多尺度有限元方法應用于周期性點陣桁架材料和二維隨機微觀結構材料的力學分析、非均質多相材料的熱彈性分析、非均質多相材料的熱彈性分析。

3 非均質結構的彈性分析和擴展的多尺度有限元方法

多尺度有限元方法通過多尺度基函數反映結構的細觀特征，在粗網格模型上求解問題，既能抓住非均質材料的細觀特征，又能在保證一定精度的條件下，減小計算量，是一種解決多尺度問題的有效算法。

非均質材料內部不同位置的力學性質各不相同，只有抓住這個非均質的特征，才能更進一步探索非均質材料力學性質的本質。

在微觀層次的研究中，我們認為混凝土漿體中的孔隙產生混凝土砂漿的非均質性，其孔隙的尺寸大致為絲米（10^-4m）量級。孔隙的尺寸很小，數量很多，并且是隨機分布的;孔隙的尺寸很小，數量很多，并且是隨機分布的;在細觀層次的研究中混凝土被認為是由粗細骨料、水泥水化物、孔隙、界面等細觀結構組成的多相復合材料;在宏觀層次的研究中，尺度大于3～4倍的最大骨料體積時，可假定混凝土材料為均質的。

擴展的多尺度有限元方法，首先在子網格上用數值方法構建宏觀單元的多尺度基函數，求得單元的等效剛度矩陣。然后，基于求得的宏觀單元的等效剛度矩陣，在宏觀尺度上對問題進行求解，因此能減少計算的自由度數。最后，在求得的宏觀尺度計算結果的基礎上，進行降尺度計算，獲得細觀尺度的結果。

4 多尺度方法的線彈性數值模擬

經過模擬實驗得出用擴展的多尺度有限元方法，分別計算了數值結構在均質條件下、一般非均質條件下和功能梯度材料條件下的線彈性數值結果，并與傳統的有限元方法和相應的解析解進行了比較分析。擴展的多尺度有限元方法和超樣本技術的使用，是求解非均質材料多尺度問題的一種有效的數值方法，具有很大的應用潛力。

在不同均質度下，混凝土的破壞全過程，表明混凝土材料的離散性和材料力學性質的非均質性。模擬的結果表明，用材料性質的Weibull分布描述混凝土的材料力學性質的隨機分布是合理的，混凝土的非線性承載性能與細觀單元的損傷有著密切的聯系。

5 總結

混凝土材料本身是一種多相復合材料，由于混凝土材料本身的性質受到其原材料的品質、組分、施工工藝和使用條件的影響，導致混凝土材料本身具有很大的離散性和力學性質的非均質性。開展了對混凝土拉伸破壞全過程數值模擬的研究，在擴展的多尺度有限元方法的基礎上，運用Matlab商業數學軟件，實現了混凝土拉伸破壞，裂紋由萌生、擴展直至貫通的全過程數值模擬。

多尺度計算方法的研究是當前的熱點，人們對精度更高、計算量更小、效率更高的計算方法的研究從未停止。單從多尺度有限元方法來說，怎樣構建多尺度基函數的邊界條件才能提高數值計算的精度，或者創建新的多尺度基函數的數學形式等，表明多尺度有限元方法的發展具有很大的潛力。建立合理的混凝土微觀尺度模型，應用微觀量子力學研究混凝土的力學性質，對揭示混凝土材料的本質意義重大。

參考文獻

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