求解多波次聯合火力打擊武器

針對多波次聯合火力打擊武器—目標分配問題，本文設計了JMMRE（Maximum Marginal Return Expectation in Joint Fire Strike）算法，用以求解多波次聯合火力打擊的武器—目標分配方案，重點解決的是在籌劃多波次武器—目標分配方案時，如何使第一波次打擊的作戰效益盡可能大同時兼顧后續波次打擊，使得整體作戰效益達到最大。

【關鍵詞】聯合火力打擊 武器—目標分配 多波次

1 引言

多波次聯合火力打擊武器—目標分配（Weapon-Target Assignment，簡稱WTA）問題，是研究在聯合火力打擊作戰樣式的背景下，根據作戰目的、當前態勢、目標特性和武器系統的技戰術指標等因素，把具有不同作戰效能的武器分多個波次，用于打擊合適的目標，以取得最佳作戰效益的問題。

在我軍面對強敵的聯合火力打擊作戰中，敵我雙方實力相當、我方武器數量有限、敵方的目標情況不能完全確定且具有一定反制能力，這就需要我方根據瞬息萬變的戰場情況，針對被修復目標或新發現目標等情況不斷調整武器—目標分配方案，必須從一開始就統籌考慮多波次打擊下的武器—目標分配方案。如果只考慮單波次的武器—目標分配作戰效益最大化，就很可能造成后續波次打擊武器資源不足，影響整個作戰過程取得最佳效益，甚至不能完成后續波次的必要打擊任務。同理，如果在多波次打擊中僅考慮使每一個單波次的作戰效益最大（即按照“多個單波次”來考慮武器—目標分配），而不為后續波次的打擊預留下合理數量的武器資源，不僅會造成作戰效費比低，也會影響整體作戰效益。

本文以我軍面對強敵的聯合火力打擊作戰為背景，以多波次聯合火力打擊中的武器—目標分配問題為研究對象，對求解武器—目標分配方案的算法進行了系統研究，旨在為聯合戰役指揮員在聯合火力打擊作戰中籌劃武器—目標分配方案提供參考。重點解決的是在籌劃多波次武器—目標分配方案時，如何使第一波次打擊的作戰效益盡可能大同時兼顧后續波次打擊，使得整體作戰效益達到最大。

武器—目標分配問題的研究歷史可追溯到20世紀50年代。美國的G.G. denBroeder等[1]在1959年提出了一種優化目標分配的方法。在現代信息化戰爭條件下，武器—目標分配問題的研究目的是當武器和目標數量都很龐大時，能夠通過相應模型快速有效地求解出武器—目標的分配方案，從而提高戰場指揮控制的效率。

1988年12月，Kolitz[2]提出一個針對武器—目標分配問題的啟發式算法。該算法以使敵方目標體系總價值的減少量作為作戰效益的衡量指標，用于給每個武器分配能使其取得最大作戰效益的目標，并將每一步驟的目標函數設置為敵方總的目標存活期望的邊際減少量，因此被稱為“最大邊際回報（Maximum Marginal Return，簡稱MMR）算法”。

美軍空軍研究所的Ahner等人在此基礎上提出了MMR Plus算法[3]。其將目標出現分為兩個波次，其中第一波次的目標信息已知而第二波次的信息未知，僅得知概率分布。為在此情況下求解問題，MMR Plus算法以MMR算法為基礎，將所有第二波次新出現的目標看作一個整體，進而可以并入MMR算法中進行求解。

2 CAVE算法

根據MMR Plus算法的模型假設[3]，第二波次新出現目標的具體信息未知，已知條件僅有其概率分布，直接對概率分布進行解析求解的計算量過于龐大，為了用較少的時間取得近似解，可以將第二波次看作一個整體，使用收益估值函數來表示給第二波次預留武器數量與帶來收益的關系。由于解析求解的具體形式也會帶來龐大的計算量，故使用CAVE算法[4]來近似計算，即使用分段線性函數來對進行擬合，在迭代過程中不斷更新近似函數的分段斜率直至收斂，以此得到的近似表達形式。

CAVE算法使用分段線性函數來對函數進行近似。算法使用一組橫坐標上的點uk以及每個點處的斜率vk來表示分段線性函數。uk和vk需要再迭代更新，每次迭代中使用uk和vk表示的近似函數計算出在已知點處的函數值，再以函數值的左右導數對uk和vk進行更新，直至收斂。這是一種快速且有效的近似算法，在研究動態武器—目標分配問題的過程中被廣泛應用。

針對本文所述的問題，uk初始設置為uk=k， k=0，…， Mtotal，其中Mtotal表示所有種類武器的總數量， vk初始設置為0。在每一次迭代中，首先通過uk和vk表示的近似函數算出預留給新出現目標的武器數量x3，再對第二波次新增目標概率分布Ω進行一次隨機采樣，生成出一組實際的目標分布ω。隨后計算價值函數在x3點處的左右斜率，即

通過上述步驟可以求得一組新的斜率數組vk，即得到了新的函數的近似函數。將更新后的近似函數繼續代入JMMRE算法（詳見下一節）進行計算，可以得出新的用于第二波次新出現目標的預留武器數量x4，再利用該點處的左右斜率對數組vk進行更新。重復上述迭代，直至uk和vk收斂到逼近函數的實際值，進而完成了CAVE算法的計算，即利用uk和vk表示的分段線性函數來得到函數的近似估計。

3 JMMRE算法

為了求解多波次聯合火力打擊武器—目標分配方案，本文設計了一種適用于聯合火力打擊的最大邊際回報期望（Maximum Marginal Return Expectation in Joint Fire Strike，簡稱為JMMRE）算法。

JMMRE算法與MMR Plus[36]算法采用了相類似的思路，即將所有在某一波次打擊前新增的目標看作一個整體。不同之處在于，本文需要求解的問題不僅需要考慮多種武器（MMR Plus算法求解時簡化為同種武器，實際作戰中極少出現只有一種武器投入使用的情況），每種武器對每種目標都有獨立的毀傷概率和單次毀傷程度，更需要考慮到部分目標會在后續波次被敵方搶修恢復。由此可見，問題求解的整體難度大于MMR Plus算法所求解的問題。endprint

輪次和波次劃分是由指揮員及指揮機關確立的，為了便于論述，不妨將下文涉及的打擊波次定為第一輪次的前三個波次。由于在本文所研究問題中存在敵方可對部分目標修復以及第一波次攻擊加成的條件，故將每個目標在各個波次視作不同的目標以便問題求解。在下文表述中，“第一波次目標”至“第三波次目標”均指代同一組實際目標，僅在算法求解層面將其在第一波次和后續波次中視作不同的目標，而“新出現目標”則指在后續波次新出現的目標，這些出現在那些并不影響算法可行性，為便于論述，不妨假設其出現于第三波次打擊前。

令xj=1，…，N表示對N個目標在第一波次的武器分配數量，xj=N+1，…，N*2 表示對N個目標在第二波次的武器分配數量，xj=N*2+1，…，N*3表示對N個目標在第三波次的武器分配數量，其中，xN+K，K=1，…，N表示第K個目標在第二波次所得到的武器分配，xN*2+K，K=1，…，N表示第K個目標在第三波次所得到的武器分配，xN*3+1表示為第三波次新出現目標預留的武器數量。

同樣地，MRj=1，….N*3+1數組的構成規則與xj=1，….N*3+1數組一致，即MRj=1，…，N表示N個目標在第一波次的剩余價值期望，MRj=N+1，…，N*2表示N個目標在第二波次的剩余價值期望，MRj=N*2+1，…，N*3表示N個目標在第三波次的剩余價值期望，其中xN+K，K=1，…，N對應第K個目標。MRN*3+1表示為第三波次新出現目標多預留一枚武器所帶來的邊界收益。此處MRj=1，….N*3+1數組表示對應目標的剩余價值期望，單個武器分配后實際的邊界收益需要在STEP 2（詳見本節表1中STEP 2）里單獨計算。

JMMRE算法可用偽代碼的方式表述如表1所示。

在JMMRE算法偽代碼中，假設針對第三波次新出現目標分配武器的收益估值函數已知。在STEP 1的初始化過程中，xj=1，…，N*3+1數組表示對每個目標的武器分配情況。初始化完成后對每個武器分配情況進行最大邊界收益計算。在STEP 2中，算法為當前武器分別計算了分配給第一波次目標、第二波次目標、第三波次目標以及新出現目標的邊界收益，并選取其中的最大值。

具體來說，將該武器分配給第一波次的目標所能達到的最大邊界收益mr1表示為：

令mr4則表示預留給第三波次新增目標所帶來的邊界收益。本文所研究的聯合火力打擊主要由常規導彈力量和航空兵力量組成。由于常規導彈力量和航空兵力量作戰各有特點，為了貼近作戰實際，本文在得到各個階段的最大邊界收益之后，需要針對當前打擊力量類型來進行不同處理。火箭軍的陸基常規導彈在作戰中是置于發射架上發射的，通常發射架上會有一枚導彈作為待發狀態，待發射后，再裝填上配給該發射架的下一枚導彈。航空兵的飛機在執行完打擊任務后，也需要一定的準備時間后才可再次出動作戰。本文假設常規導彈力量同一個發射架發射導彈后在下一波次可繼續發射，航空兵力量同一架飛機出動后需要隔一個波次后才能再次出動。由于本文假設作戰分為三個波次，在不影響算法有效性的前提下為了方便敘述，不妨令每個發射架配備兩枚導彈。

如果當前待分配武器屬于常規導彈力量（指單個導彈發射架），按本文假設，該武器可以在兩個不同的波次發射兩次，因此需要在mr1、mr2、mr3、mr4中選取擁有最大收益的兩個目標來進行分配，即求解下式得到對于該武器的最優目標分配。

如果當前待分配武器屬于航空兵力量（指單架飛機），按本文假設，分為兩種情況。情況1：若該武器在第一波次中參與攻擊，可以在第三波次再次出動打擊，情況2：若該武器用于第二波次攻擊，則在第三波次無法參戰。因此需要根據能否在打擊時間段內具有再次出動攻擊的能力作區分處理。對于屬于情況1的武器，則在mr1到mr4中選取擁有最大收益的目標即可。而對于屬于情況2的武器，則需要在mr1和mr2中挑選擁有最大值的單位作為第一次攻擊的目標，并且在mr3和mr4中挑選擁有最大值的單位作為第二次攻擊的目標。

通過上述步驟可以求得每個武器分配后擁有最大收益的目標。隨后，在STEP 3中需要對這些目標的武器分配情況和剩余價值進行更新。

用xk=xk+1表示為該目標分配了一個武器。如果K≤N，表示該目標是第一波次目標，首先要更新該目標的剩余價值。剩余價值的更新后的值為：，其中，MRk表示當前目標的剩余價值，表示打擊后的殘留度期望。

如果該目標在第二波次不可修復，則意味著當前的打擊損毀需要反映到其在第二波次對應的目標上。因為二者其實是同一個實際目標，在第一波次打擊造成的損毀會延續到第二波次，因此需要使用

如果，表示該目標是第二波次目標，則只需要更新自身的剩余價值MRk即可，更新方法與第一波次目標類似，不同之處僅在于毀傷程度沒有受到第一波次毀傷加成系數B的作用。如果，，亦同理。

如果，表示武器被預留給了第三波次新出現目標，因此使用為第三波次新出現目標分配武器的收益估值函數對MRN*3+1進行更新。通過上述步驟完成對該武器的分配后，將對應的數值進行更新。隨后將i=i+1，繼續循環直到所有的武器分配完畢。

結合上文論述，得出求解多波次聯合火力打擊武器—目標分配方案的步驟偽代碼如表2所示。

4 總結與展望

本文為求解多波次聯合火力打擊武器—目標分配方案設計了JMMRE算法，下一步將設計一個多波次聯合火力打擊行動的案例，用JMMRE算法求出武器—目標分配方案，算出總作戰效益，再通過與利用MMR算法求解的多個單波次的靜態武器—目標分配方案取得的總作戰效益相對比，驗證本文提出的JMMMR算法的合理性和可行性。由于實驗數據涉及軍事機密，故該實驗結果不在本文進行闡述。

本文針對多波次聯合火力打擊武器—目標分配方案的優化進行了初步探索，但仍然存在諸多不足，具體包括：

（1）本文默認可修復目標在后續波次打擊中會完全恢復。進一步研究中可以考慮在解決方案中引入敵方可修復目標的恢復率；

（2）本文未考慮敵方的反擊能力，聯合火力打擊是雙方對抗性的作戰行動，敵方的反擊或反制行動對我方的進攻會產生相當影響。在進一步研究中，可以嘗試將敵方的反擊或反制能力納入模型中進行考慮。

參考文獻

[1]Broeder G G D，Ellison R E，Emerling L.On Optimum Target Assignment[J].Operations Research，1959，7（03）：322-326.

[2]S.E.Kolitz.Analysis of a maximum marginal return assignment algorithm[J].Decision and Control，1988：2431-2436.

[3]Darryl K.Ahner，Carl R.Parson. Optimal multi-stage allocation of weapons to targets using adaptive dynamic programming[J].Optim Lett，2015（09）：1689-1701.

[4]Godfrey.G.，Powell.W.B.An adaptive，distribution-free algorithm for the newsvendor problem with censored demands，with applications to inventory and distribution[J]. Manag Sci，2001，47（08）：1101-1112.

作者簡介

倪霄漢（1990-），男，國防大學研究生院十八隊碩士研究生，上尉。

江澤強（1990-），男，國防大學研究生院十八隊碩士研究生，技術上尉。

作者單位

國防大學 北京市 100091endprint