切換系統的魯棒二次公共Lyapunov函數矩陣尋找算法

張曉宇，李平

線性切換系統穩定性判斷有幾種方法，其中公共Lyapunov函數（common Lyapunov function, CLF）方法是在多Lyapunov函數方法之后被提出來的。其出發點是若切換系統所有子系統存在一個單Lyapunov函數，并且這個Lyapunov函數在整個狀態空間中沿著特定的切換序列或者是任意切換都能遞減，則整個系統穩定[1-2]。Beldiman等[3]指出通過對原來穩定的非線性切換系統線性化后，其線性化的系統是漸近穩定的。目前研究焦點是如何構造CLF，或者如何判斷存在CLF。Dogruel首先提出了CLF方法，證明了切換系統如果存在一個Lyapunov函數，使得所有的子系統滿足則對于任意的切換信號切換系統都全局漸近穩定[2]。之后，圍繞著CLF存在的代數條件，學者們展開了一系列的研究。Ooba等[4]提出了一對不可交換系統CLF存在的條件。文獻[5]證明了若子系統均漸近穩定，且各個子系統的狀態矩陣兩兩相乘時滿足交換條件，則系統存在公共二次Lyapunov函數（common quadratic Lyapunov function, CQLF）。Liberzon利用Lie代數研究了線性切換系統存在CLF的代數條件[6]，證明了如果由生成的Lie代數可解，則切換系統存在CQLF。在此基礎上，Margaliota進一步研究了非線性切換系統的穩定性[7]。

顯然，CLF只是切換系統穩定的充分條件，反之，如果切換系統在任意切換信號下全局漸近穩定，是否存在CLF？針對這一問題，Dayawansa證明了若線性切換系統在任意切換信號下全局指數穩定，則線性切換系統存在CLF[8]。Cheng等[9]應用CLF分析了幾類切換系統的穩定性，提出了確保閉環切換系統穩定的CLF。

CQLF的存在性必然有一定條件，而且和切換系統的分析和控制器設計密切相關。對CLF存在的充分和必要條件討論可以參考文獻[10]。CLF的構造方法也已經取得了許多成果。基本都是假設是漸近穩定的，即構成穩定矩陣集。文獻[5]考慮了一組可交換穩定矩陣，提出了一種構造CQLF的方法。文獻[11]對尋找CLF方法進行了討論，并且給出了幾個CQLF存在的條件。文獻[11]給出了穩定矩陣集中，矩陣兩兩不能互換但滿足對合條件時，其CQLF的相應構造方法。

本文將討論不確定線性切換系統的穩定性判定CQLF問題。如果單獨考慮帶有不確定性的線性切換系統穩定性，即魯棒穩定性問題，其CQLF的構造將會更加困難。為了克服這個困難，本文提出了公共魯棒穩定矩陣集的概念，并進一步擴展推出魯棒穩定矩陣集的CQLF矩陣的判定定理和構造定理。本文的結果對于任意切換規則下的不確定線性切換系統魯棒控制問題具有以下重要意義：1）有了一套實用的搜尋CQLF的具體LMI算法；2）有了一個判斷任意切換規則下系統魯棒二次穩定的充分性條件。

1 問題描述

考慮如下的不確定切換系統

切換系統式（2）滿足以下假設。

假設1[14]不確定參數滿足

接下來給出本文用到的常用引理。

引理1[13]（Schur補引理） 對于給定對稱矩陣，以下3個條件是等價的：

引理2[14]設H和E是具有適當維數的實常數矩陣，滿足。那么對于任意常數，有

2 已有結果

引理3[12]對于穩定矩陣集，如果N – 1 滿足以下條件

3 主要結果

3.1 魯棒二次穩定

成立。根據引理7，顯然若滿足，則有

切換系統（2）的系數矩陣滿足如下假設。

定義

3.2 魯棒CLF矩陣

3.3 遞推CQLF矩陣

根據引理4，我們進一步得到穩定矩陣集的如下CQLF的構造算法定理。

如果不等式（18）滿足，則顯然有

其中是矩陣集中兩兩矩陣交換差。

證明

由于實際系統矩陣往往不容易兩兩可交換，或者說構成對合矩陣集。因此，在實際控制應用中，引理3、推論1并不實用。而引理4和本文給出的定理1、定理2、推論2滿足大多數實際應用計算情況。

3.4 魯棒二次Lyapunov函數矩陣尋找算法

定理2在實際應用中更加廣泛，因此我們進一步給出實用的魯棒二次CLF尋找算法。

將式（22）代入，有不等式：

再根據，上式即

成立。這樣LMI（21）就等價于定理2中式（19）。那么推論3與定理2是等價的。

推論3給出了便于計算機計算尋找CQLF矩陣的遞推算法。我們可以首先給出某一個子系統的魯棒二次Lyapunov函數矩陣，然后令，運用MATLAB的LMI工具箱求解LMIs，每次求出的即是子系統的魯棒二次CLF矩陣。

需要指出的是，定理1、定理2、推論3均是充分條件，如果這些定理不能滿足，并不能說明魯棒二次CLF矩陣不存在。

4 應用仿真

現代農業中，溫室大棚提供了經濟作物適宜的生長環境。其中溫度和濕度是最為重要的因素，各類農作物的需求各不相同。因此，合理的溫室溫度和濕度控制成為智能溫室大棚的主要和關鍵工程問題。文獻[15]選擇較為傳統的近似線性化方法，在選取的溫濕度工作點對非線性模型進行泰勒展開，這樣就獲得了所有工作點的線性化模型組。針對每個子模型設計相應的最優跟蹤控制器，根據然后進行了跟蹤切換控制。

式中：管道加熱溫度G，通風率G，土壤表層溫度T1，室外溫度，室外濕度，太陽輻射能量、泄漏風量。選擇狀態變量G為G和G，輸入變量G分別為G和G，其余視作干擾，且假定上述所有變量均可測，狀態空間模型為

式中：

各個參數物理意義及數值參考文獻[15]。將上述模型在工作點近似線性化，可得線性化后模型為

這樣，對于這個溫室大棚的控制問題，我們看做是一個在不同工作點線性化后的線性不確定切換系統。在各個不同工作點進行了最優反饋控制設計后的閉環系統，是多個工作點附近的穩定子系統。這樣，各個工作點閉環控制后的系統參數矩陣就構成一個穩定矩陣集以及具有3個子系統的切換系統（1），。

我們把本文的理論和方法，進行應用，目標是判斷在各個工作點線性化、最優反饋控制后的各個子系統構成的整體是否是魯棒穩定的。我們把各個干擾部分進行取近似化為

根據假設1，將各個子系統不確定性分解。各個不確定性矩陣為

子系統1中：

這樣，找到了溫室大棚這3個工作點的魯棒二次CLF，說明在任意切換規則下系統漸近穩定。

我們不考慮設計跟蹤設定溫度、濕度曲線問題，只考慮鎮定問題。因此為了驗證CQL[F方法的]有效和正確性，設系統的初始狀態為，開始以工作點的模型運行，20 s后以工作點的模型運行，再經過20 s以工作點的模型運行。隨后我們任意切換。系統仿真結果如圖1、2所示。從圖中可以看出，在不確定參數存在的情況下切換系統狀態在任意切換信號下狀態都能鎮定。

圖1 切換規則下系統狀態曲線Fig. 1 The state curves under switching signal

圖2 切換信號曲線Fig. 2 The switching signal curve

5 結束語

對不確定線性切換系統的CLF問題進行了討論。若系統矩陣構成魯棒穩定矩陣集，給出了CQLF矩陣的遞推判定方法和構造算法。構造算法是遞推式的LMI形式，求解方便，實用性強。在溫室大棚的溫濕度控制問題的典型應用仿真驗證了結果的可行性。

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