基于MATLAB的一階倒立擺PD控制算法仿真

楊慧瑩 王子辰 邵云龍 王一杰

摘 要：倒立擺系統是一個典型的快速、多變量、非線性、不穩定的動態系統，對于倒立擺的控制研究無論在理論研究上亦或是工業復雜控制對象的控制方法上都有深遠的意義。本文主要研究內容是：首先概述倒立擺系統研究的背景及意義；介紹倒立擺組成并對一階倒立擺模型進行建模；研究倒立擺系統的PD控制方式，并設計出對應的控制器，以MATLAB軟件為平臺經行模擬仿真實驗并對PD控制效果進行總結。

關鍵詞：倒立擺；PD控制算法；MATLAB仿真

1、倒立擺系統研究背景及意義

倒立擺是處于倒置不穩定狀態、通過人為控制使其處于動態平衡的一種擺，是一個復雜的快速、非線性、多變量、強禍合、自然不穩定系統，是重心在上、支點在下控制問題的抽象。倒立擺在東漢科學家張衡于公元年發明的候風地動儀就有體現，其關鍵機構就是一根稱為“都柱”的倒立擺， 頂桿雜技表演的技巧也體現了倒立擺系統的控制策略。

對倒立擺的控制涉及到控制科學中處理非線性、高階次、強禍合對象的關鍵技術，許多現代控制理論的研究人員一直將它視為研究對象。因而倒立擺被譽為“控制領域中的一顆明珠”。通過對倒立擺的研究不僅可以解決控制中的理論問題，還能將控制理論涉及的三個主要基礎學科—力學、數學和電學進行有機的綜合應用。同時，其控制方法在軍工、航天、機器人和一般工業過程領域中都有著廣泛的用途，如機器人行走過程中的平衡控制、海上鉆井平臺的穩定控制、火箭發射中的垂直度控制和衛星飛行中的姿態控制、太空探測器著陸控制和測量儀器展開穩定控制等。因此，倒立擺提供一個從控制理論通往實踐的橋梁。

2、一階倒立擺的數學模型

圖1一階倒立擺系統的原理圖。若不給小車施加控制力，倒擺會向左或向右傾斜，控制的目的是當倒擺出現偏角時，在水平方向上給小車以作用力，通過小車的水平運動，使倒擺保持在垂直的位置。即控制系統的狀態參數，以保持擺的倒立穩定。

為了建立倒立擺系統的數學模型，先作如下假設：倒立擺與擺桿均為勻質剛體；忽略倒立擺運動過程中的摩擦及空氣阻力。圖1所示系統的相關參數定義如下：M小車質量、m擺桿質量、b小車摩擦系數、l擺桿轉動中心到桿質心的距離、x小車位置、θ擺桿與垂直向上方向的夾角、 擺桿與垂直向上方向的夾角。對小車和擺桿進行受力分析， 可以得到該系統的兩個方程：

3、PD控制及MATLAB仿真

直線一級倒立擺的輸出量主要考慮兩個，即擺桿的角度和小車的位置。因此要設計合適的控制器對擺桿的角度和小車的位置進行控制。本文所用參數為M = 0.5；m = 0.2；b = 0.1；I = 0.006；g = 9.8；l = 0.3，均為國際單位制。

從一階倒立擺傳遞函數模型中不難看出， 該系統因為含有不穩定的零極點， 所以是一個“自不穩定的非最小相位系統”。由于一階倒立擺系統位置伺服控制的核心是“在保證擺桿不倒的條件下， 使小車位置可控”。因此， 依據負反饋閉環控制原理， 可將系統小車位置作為外環， 而將擺桿擺角作為內環， 擺角作為外環內的一個擾動， 則可得到閉環系統的有效抑制。綜上所述， 一階倒立擺控制系統可按如圖2所示進行設計。

參考文獻：

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