新情境下的高考數列求和問題教學探究

詹嘉玲

隨著高考評價體系的實施，高考命題更加突出落實“立德樹人”的核心任務，強調學生能夠有機地整合所學知識和自身能力，有質量地分析和解決問題。其中，特別指出要加強情境設計，要求學生要能夠從新情境中提取有效信息，將學科知識有效遷移，解決新問題，得到新結論。因此，筆者將圍繞以數列求和為背景的高考新題型，立足基礎知識與通性通法，探究新情境下的數列求和問題的解題思路、方法，并提出相應的備考策略。

一、高考數列求和問題的地位和分布

近幾年的高考數學全國卷試題中，數列求和問題集中在解答題的第17題，個別題目出現在選填題，大部分屬于“送分題”，體現了對學生必備知識和關鍵能力的考查。考查的形式經常是構造等差數列的積考查裂項相消法求和，構造等差等比數列的積或商考查錯位相減法求和，或構造兩個數列的和或差考查分組求和法。

但是，新高考試題摒棄了這種固化的命題方式，更加追求題目創新靈活，對于數列求和問題的考查則更加側重于學生的思維能力，從而淡化了模式化的求和運算。具體到試題的呈現方式，主要是通過創設新的問題情境或改變題目的設問方式，要求學生通過閱讀理解，提煉題目信息，再類比、歸納、邏輯推理，發現數列各項之間隱含的規律，最終將課程知識方法遷移到不同的情境中。這樣的出題方式要求學生對數列知識融會貫通，不僅要“知其然”，還要“知其所以然”，在夯實基礎知識的同時，面對陌生問題還必須靈活應用，創造性地思考和探索。

二、巧用思維導圖，尋找新情境下的數列求和問題的求解策略

（一）以新定義為新情境的數列求和問題

新定義的數列題，一般是題干提供一個新的數列的定義，要求學生在較短時間內通過閱讀理解，快速捕捉有效信息，領悟新數列的實質，并能夠聯系已學的知識方法，提出有效的求解新問題的策略。這類題目更加側重于能力立意，綜合考查學生的閱讀理解能力、數學抽象能力、邏輯推理能力和知識遷移能力，為多數命題者所青睞。

【例1】（2020年新高考全國卷 I ）已知公比大于1的等比數列{an}滿足a2+a4=20，a3=8

（1）求了的通項公式：

（2）記bm為{an}在區間（0，m]（m∈N*）中的項的個數，求數列{bm}的前100 項和S100.

解析：第一問考查了等比數列基本量的計算，對學生來說難度不大，可以快速得到an=2n。主要難點在于第二問，通過閱讀題目材料，發現題目定義了一個新的數列{bm}，而這個數列對學生來說是完全陌生的。

那么，如何正確把握和領悟新數列的內涵呢？根據思維導圖第二步，只要通過數學語言表達， 羅列出{bm}的前幾項：

由于a1=2，a2=4，a3=8，a4=16，a5=32，a6=64，a7=128，所以

b1對應的區間為（0，1]，{an}沒有落在當中的項，故b1=0；

b2對應的區間為（0，2]，a1落入區間中，故b2=1；b3與b2同理；

b4對應的區間為（0，4]，a1，a2落入區間中，故b4=2；b5，b6，b7與b4同理；

b8對應的區間為（0，8]，a1，a2，a3落入區間中，故b8=3；b9，b10，…，b15與b8同理；

解析：第一問考查了學生用定義法證明等差數列，通過有限項的直觀想象，可以猜想{bn}是等差數列，再根據題設的遞推關系，可以很快得到a2k+2=a2k+1+1，a2k+1=a2k+2，進而得出a2k+2=a2k+3即bn+1=bn+3，最終得出bn=3n－1，此問難度不大。難點依然集中在第二問，通過對題設的閱讀理解，發現數列{an}并非學生熟悉的等差或等比數列，而是按照n的奇偶，交替使用兩個等差遞推關系得到的{an}各項，學生難以直接把握其通項特征。此時，依然可以根據思維導圖的第二步，只要將{an}前幾項進行用數學式子進行表達，便可抓住其規律。

三、針對新數列求和問題的備考建議

高考是課堂教學的風向標，新的命題模式的出現對傳統課堂教學提出了新的挑戰。在過去一年的新高考備考實踐中，我深深地感覺到學生對新高考新題型的不適應，這也與我們課堂教學過于追求基礎知識的講授而忽視了學生關鍵能力的提升有關，那么，如何有效提高學生新數列求和問題應對能力呢？

1.知識為基，關注通性通法

夯實基礎方可激發潛能，扎實教學才能提升能力。高考中，數列一般屬于“中低檔”問題，主要考查學生對基礎知識和基本能力的掌握。因此在數列的教學中，一方面，要回歸基礎概念，讓學生親歷公式的形成過程，重視思想方法的的滲透，幫助學生梳理數列知識，厘清知識的內在聯系，把握知識整體脈絡；另一方面，針對不同的題型，要提出行之有效的解題策略，讓學生熟練掌握數列問題的通性通法。當學生面對一個“難題”時，才能將它快速拆解為已學知識，靈活地運用已有套路去解決它，從而從根本上提升學生的解題能力。

2.能力為重，堅持教學反思

大多數學生熱衷題海戰術，就題解題，而一遇到新情境就束手無策，無法看清題目本質，究其原因是缺乏舉一反三的知識遷移能力。因此，教師應當有意識地對學生解題反思能力進行培養，積極引導學生反思題目所需的必備知識，反思解決問題的突破口，反思問題的優化解法等等。此外，教學中盡量采用變式訓練的教學模式，讓學生多方位地對題目進行分析、聯想，主動尋找新情境與已有知識之間的聯系，有意識地培養他們轉化化歸的能力，達到觸類旁通，融會貫通的目的，全面提高學生的綜合能力和學科素養。

3.素養導向，課堂教學與數學建模相融合

學生對于新情境的恐懼，源于平時數學學習僅限于“紙上談兵”，缺少綜合運用多種知識解決實際問題的學習過程。而數學建模正好彌補了這一缺憾，學生只有親身參與數據的收集、分析、處理的實踐，經歷提出并最終解決問題的過程，才能讓課程內容真正內化為他們自身的技能。教師可以通過認真研讀教材，從中挖掘數學建模的素材，或鼓勵學生大膽創新，光柱社會熱點，從自己感興趣的問題中提煉數學模型。伴隨著建模課程的深入，提高學生學生對課堂知識、能力的綜合運用能力，讓他們感受到數學蘊含的應用價值，同時也有助于學科素養的進一步養成。

責任編輯 邱 麗