設置對比情境 培養學生思維

吳德滿

【摘要】本文介紹作者在帶限制條件的排列問題教學過程中，通過例題對比及方法對比，旨在說明例題教學中注重例題設計及一題多解，然后對比各種解法的區別，從而發現規律，體現實質的重要性.

【關鍵詞】帶限制條件；雙重受限；單重受限；排列

帶限制條件的排列問題中有一類常見的限制是“在”與“不在”.即限制某些特定元素只能在某些位置，也可限制某些特定元素不在某些位置.這一類問題對學生而言，入手較難，而且特別容易出錯，本文就這類問題用不同方法進行對比，從集合角度加以分析，并且總結解決辦法.

一、單重受限：即部分元素和位置僅受到一個方面的限制

例1 甲、乙、丙三個班級分別從A，B，C，D，E五個景點各選一處游覽，而且不能重復，由于甲班中部分同學已去過景點A，B，所以甲班不選景點A，B，問共有多少種安排方法.

分析 從元素看甲班受到限制，而從位置看景點A，B，受到限制，所以用優限法，可以優先安排甲班，也可優先安排景點A，B.

法一 優先安排甲班：甲從C，D，E選一處游覽，而乙、丙從剩下的4個地方隨意安排，故共有A13A24=36種安排方法.

法二 優限安排受限位置A，B.共分四類：第一類A，B都沒被選，共有A33=6種排法；第二類A被選而B沒被選，共有A12A23=12種排法；第三類B被選而A沒排選，同樣為12種排法，第四類A，B都被選，共有A22A13=6種排法，故共有6+12+12+6=36種安排方法.

評注 例2中優先安排受限制的元素甲，則不需要分類，因為甲一定要選位置.而優先安排受了限制位置A，B，則需要分四類，因為位置A，B不一定要被占據.

總結 通過例1、例2的對比：單重受限問題中，關鍵考查元素和位置哪個更“緊缺”，如果元素比位置少，則優先安排受限制元素更容易.相反，則優先安排受限制位置更容易，另外，也可都用間接法.

二、雙重受限：即部分元素和位置受到兩個方面不同的限制

例2 用0到9可組成多少個無重復數字的四位奇數？

分析 本例中有兩個方面受到限制，一方面，0不能在千位，即千位只能在1到9中選.而個位只能在1，3，5，7，9中選，如果優先安排受限元素過于復雜，故優先安排受限制位置有兩種做法：

法 先安排千位，再安排個位：分兩類，第一類，千位為奇數有A15=5種安排法，再個位有A14=4種排法，最后是有一位和十位有A28=56種排法，共有5×4×56=1 120種排法.第二類，千位為偶數，同樣共有A14A15A28=1 120種排法，故總共有1 120+1 120=2 240種排法.

例3 從A，B，C，D，E，F六人中選4人參加4×100米接力賽，其中A不能跑第一棒，B不能跑第四棒，共有多少種安排方法.

分析 例4也有兩方面受限.一方面，A不能第一棒即第一棒只能從B，C，D，E，F中選.另一方面，B不能跑第四棒，即第四棒只能從A，C，D，E，F中選，由于元素比位置多，按照前面單重受限總結，如果優先安排受限A，B則情況過于復雜，下面采用優先安排受限的位置.

法一 先安排第一棒，再安排第四棒：分兩類，第一類，若第一棒是B，則不再有限制，有A35=60種排法.第二類，若第一棒不是B，則共有A14A14A24=192種排法，故共有60+192=252種排法.

法二 先安排第四棒，再安排第一棒.同樣分兩類，第一類第四棒是A，有A35=60種排法，第二類第四棒不是A，則共有A14A14A24=192種排法，故共有60+192=252種排法.

評注 例4與例3則不同，無論先安排第一棒，再安排第四棒，還是先安排第四棒再安排第一棒都需要討論.主要原因是第一棒的取值集合M={B，C，D，E，F}與第四棒的取值集合N={A，C，D，E，F}沒有包含關系，這樣無論優先安排哪個受限位置，對另外一個受限位置都有不確定的因素.同樣例3中若把“奇數”改為“偶數”，則A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，B={0，2，4，6，8}由于A與B沒有包含，所以討論無法避免，若先安排千位，則分千位是奇數和偶數兩類.若先安排個位，則分個位為0和不為0兩類.另外，例4也可用間接法：A46-2A35+A44=252種排法.

總結 雙重受限問題關鍵考查受限位置的取值集合間的關系.不妨沒受限位置甲的取值集合為A，受限位置乙的取值集合為B.若BA，則先安排甲，再安排乙可以避免討論.若AB，則先安排乙再安排甲可以避免討論.如果A與B無包含關系，正面解答時討論將無法避免，討論的標準是看在不在A∩B中.如先安排甲再安排乙，則可分甲從A∩B中選和甲從CA（A∩B）中選兩類.另外，必要時可用間接法.

通過上面兩個類型的四個例題的分析和解答以及總結，能夠使學生在這類排列問題能夠有更深層次的掌握，特別對優限法有了本質地認識，而不是機械地模仿.使學生不但知其然，而且知其所以然，從而揭示了事物的本質，通過幾種解法和對比，激活了學生的思維，而且遵循數學解題中的簡單化原則，通過教學實踐檢驗，取得了很好的教學效果.endprint