初中數學中圖形面積與反比例函數的結合問題分析

莊光新

在新課程改革背景下，初中階段數學學科應當逐步形成以知識技能、數學思考、問題解決以及情感態度為核心的四維目標.上述目標的實現結果會直接影響對學生學習能力的考評結果.近年來，通過對中考試題的觀察與分析，不難發現，幾何圖形與函數知識點的結合已成為考查的重點內容之一.為進一步提高學生的數學成績，關鍵應當在教學過程中積極探索圖形面積與反比例函數相結合的方法，以培養學生解決圖形面積與反比例函數結合問題的能力，突破思維定式方面的局限性，達到更為理想的教學效果.

一、研究基本圖形，掌握圖形特征

如，在引導學生對反比例函數一般解析式y=kx圖像相關知識點進行學習的過程中，常常遇到這樣的結論：“已知某反比例函數y=kx，且過圖像上任意一點A（a，b）分別向x軸以及y軸作垂線，構成矩形面積為ab，由于點A在圖像上，故ab=k.”根據這一關系可知：同一個反比例函數圖像的點構成這樣的矩形面積都相等，以此作為基本圖形，可以為教師后續有關圖形面積與反比例函數知識點的深入探究提供基礎，進而促進知識點的深入掌握.

二、重視基本圖形，解決相關問題

初中數學教師在教學實踐中應當將關注學生在初中數學教學活動中的主體地位，盡可能引導學生自主探究，以培養他們良好的創新能力.應引起學生對基本圖形的重視，促進學生對相關問題解決能力的提高.以下結合例題進行說明：

例1 如圖1所示，過y軸正半軸任意一點P作與x軸相平行的直線，且分別與該坐標系中反比例函數y=-4x與反比例函數y=2x交叉于A點以及B點.假定C點為x軸上任意一點，連接線段AC與BC，求△ABC的面積取值.

分析 在求解該題的過程中，解題的關鍵在于尋找已有的認知結構，將已有結構圖形面積與反比例函數相結合，以簡化分析過程，得出準確結果.故在探究該題目的過程中，可以連接OA以及OB，根據圖形面積基本性質可知△AOP與△BOP的面積之和為△AOB的面積，均為3.在此基礎之上，需要利用三角形圖像性質“兩個同底等高三角形面積一致”推導出△ABC與△ABO屬于同底等高三角形，故面積一致，因此△ABC面積同樣為3.除此以外，還可分別過點A以及點B作x軸的垂線，所得到的矩形圖像面積為6，然后將需要求解的△ABC面積轉換為12矩形面積問題，以得出正確的結果.

由此可見，學生通過對圖形面積與反比例函數相結合知識點的靈活掌握，能夠在求解題目的過程中積極尋找所熟悉的基本圖形，并應用圖形面積特點以得出準確結果，提供多種不同的求解思路與方法，這對于培養學生探究能力以及發散性思維也是非常重要的.

三、加強知識聯系，培養問題解決能力

在初中數學教學實踐中，教師必須對教學觀念進行積極更新，以促進師生思維層面的積極影響，主動展開對相關問題的思考，形成更富新意的思維結構.因此，在圖形面積與反比例函數相結合知識點的教學中，教師應當牢牢抓住知識環節，重視能力發展與知識結構的結合，積極引導學生提高自身能力，以提高問題解決的整體能力.以下結合例題進行說明：

例2 如圖2所示，已知存在某雙曲線y=kx（且滿足k>0）經Rt△OAB中斜邊OB中點D，同時與直角邊AB相交于C點.假定△OBC面積為6，求k的值.

分析 在求解該題的過程中，需要在復雜的圖形中找準需要進行分析求解的圖形，以尋找突破口，即△OAC，根據反比例函數與圖形面積之間的對應關系，可知△OAC面積為k2，同時△OAB的面積可表示為2k+6.加之題目給出已知條件“雙曲線y=kx（且滿足k>0）經Rt△OAB中斜邊OB中點D，同時與直角邊AB相交于C點”，根據以上表述可知DH與OA呈垂直關系，再根據圖形面積特點可知△ODH面積同樣可用2k的方式表示，故可根據中位線得知△OAB與△ODH在面積間的對應關系，即△OPB=4×△ODH，故可形成等式關系“k2+6=2k”，解得k值為4.

四、結束語

結合筆者教學實踐工作經驗來看，在初中階段數學學科的教學實踐中，滲透數形結合思想是非常重要的內容與目標之一.而數形結合在初中數學學科中的最佳體現就是圖形面積與反比例函數的相關性問題.因此，教師必須將圖形面積與反比例函數相結合知識點的教學以及相關問題的求解分析作為教學重點，指導學生掌握兩種知識點之間的對應關系，培養學生主動進行知識歸納與總結的能力，在主動且有效的探究性學習過程中，不斷提高對圖形面積以及反比例函數知識點的掌握程度，最終促進數學成績的不斷提高.endprint