求某些非線性偏微分方程特解的一個簡潔解法

劉建方

【摘要】隨著科技的進步和發展，我們在物理、化學、生物及其他各個研究工程中對于數字的精確度要求越來越高，簡單的數學模型已經無法滿足這一要求了，于是又引入了微分方程這一模型，使精確度大大提高，本文借鑒之前提出的試探函數法，在其基礎上，研究分析稍加修改，提出一種優化的試探函數求解某些非線性偏微分方程特解的方法.

【關鍵詞】非線性偏微分方程；特解；優化試探函數法

目前我們已經能夠掌握多種求解非線性偏微分方程特解的方法，但是，隨著科學技術的深入研究，非線性方程的形式也是變化多端，因此，到目前為止，我們還是無法找到一個通用于任何形式非線性偏微分方程特解的求解辦法，探索仍在繼續.

一、非線性偏微分方程研究情況簡介

在物理學及力學的研究過程中，要確切地描述各物理量之間的關系，我們經常需要建立起較復雜的非線性方程式.

為了便于解決這些問題，諸多學者為研究求解非線性微分方程付出了巨大的努力，嘗試過各式各樣的途徑，最后倒也形成了不少求解非線性片微分方程特解的辦法，其中更是融入了計算機技術，例如，齊次平衡法、直接代數法、指數函數法、橢圓函數展開法、F—展開法等.

通常情況下，非線性偏微分方程的求解都是按照一定的思路進行的：當我們遇到非線性偏微分方程，并且難于直接求出其解的時候，我們首先會利用現有知識分析解剖該非線性方程，使其轉化成我們所能理解的形式；第二步就是進行運算，對于我們可以分辨的簡單非線性方程，可以求解除其準確數值；最后，拆分后的非線性偏微分方程若是仍然無法直接解答，則可以利用數學技巧，轉換思路，進而求出其近似解.

上述思路是我們在探索非線性方程特解時重要線索，也是一直以來遵循的道路，下面提到的試探函數包括優化之后的試探函數法都將繼續服從這一理論.

二、試探函數法解非線性微分方程

（一）試探函數法

將求出的特解表達式代入上述要求解的非線性偏微分方程式中，利用最高階導數項與最高冪次的非線性項之間的平衡關系，我們可以得出待定常數d的表達式：

表示出d之后，將表示式代入原非線性偏微分方程及其特解表達式中，簡單整理運算后，可以得出a，b，c，A，B等參數之間的特定關系了，很顯然，該非線性偏微分方程的幾個特解就可求解出來.

（二）試探函數法的不足

試探函數法自提出后，其與之前存在的關于求解非線性偏微分方程的解法有所不同，計算起來較為簡便，一直廣受工程技術研究者的喜愛，試探函數法尤其廣泛在求解Burgers方程和KdV方程中使用.雖然說試探函數法的發現，為非線性偏微分方程特解的求解提供了相對簡單便捷的途徑，但是其適用范圍仍有所局限，只能具體到求解某些特定非線性方程的特解，對于達到適用于所有非線性偏微分方程特解的萬能公式，還差好大的距離，新式方法和理論的研究探索仍需繼續進行，下面將簡單介紹一種優化的試探函數法.

三、優化試探函數法求解非線性微分方程特解

優化試探函數法是在試探函數法求解某些非線性偏微分方程特解的理論基礎上稍加修改和創新之后形成的，這是一次大膽的嘗試，優化試探函數法的靈感來源于“Hopf-Cole變換法”的思想，通過這一變換思想，推導出一種可以用于直接解出Burgers方程特解的表達式，應用起來非常的方便，對于非線性偏微分方程特解的求解來說非常便捷快速，可廣泛應用于工程技術中的非線性方程問題的解決.

這樣表示出參數d的表達式后，再代回方程式和特解表達式中，總結歸納出其他參數字母間的關系，進而求解非線性偏微分方程式的特解.很顯然，從表達式的形式就可以看出，優化后的試探函數法的表達式更加的簡單直觀，計算步驟也直接易懂，相比較而言，原試探函數法就顯得冗長煩瑣，因此，在實際應用中，優化試探函數法更加適用于非線性偏微分方程特解的處理解決.

四、結束語

本文中介紹的優化之后的試探函數法相比較于之前的試探函數法來說，更加易于接受和理解，應用起來也更加高效快捷.非線性偏微分方程特解的求解方法還有很多，我們需要繼續學習探索，在微分世界中尋求更便捷的方法，爭取更高、更快、更強.

【參考文獻】

[1]劉式適，等.求某些非線性偏微分方程特解的一個簡潔方法[J].應用數學和力學，2001（3）：281-286.

[2]楊志強.一類非線性偏微分方程的解法與應用的研究[D].阜新：遼寧工程技術大學，2012.endprint