半狄氏型下的Kato類光滑測度

馬 麗,韓新方

(海南師范大學數學與統計學院,海南?？?571158)

1 引言

設E為可度量的Lusin空間,m為Borelσ-代數B(E)上正的σ-有限測度.(E,D(E))為L2(E,m)上的擬正則半狄氏型,M=(Xt,Px)為(E,D(E))聯系的m-胎緊特殊標準馬氏過程,見文獻[1–4].對于一個(E,B(E))上正的測度μ,如果滿足μ(N)=0,其中N∈B(E)為零容集,且存在由E的緊子集組成的E-網{Fk}∞k=1,使得對于所有的k∈N,有μ(Fk)＜∞,則稱μ為關于(E,D(E))的光滑測度,記μ∈S.令(At)t≥0為M的一個正的連續可加泛函(記為Ac,+),則存在唯一的μ∈S滿足:對于D(E)中任意α-共軛過分函數g(這里α＞0),任意的f∈B+(E)有

稱μ為(At)t≥0的Revuz測度,記作μA.反之,若μ∈S,則必存在一個A∈Ac,+,使得(1.1)式成立,稱S與Ac,+之間的這種對應關系為Revuz對應(見文[5,定理5.8]).(E,B(E))上一個正的測度μ稱為有限能量積分測度(記為S0),如果μ在零容集上為0,且存在正的常數C,使得對任意f∈D(E)有

在對稱狄氏型框架下,文[6]研究了對稱狄氏型的Kato類光滑測度擾動;文[7]考慮了一類Kato類光滑測度的可加泛函及其大偏差問題;文[8]給出了一類Revuz測度是Kato類光滑測度的連續可加泛函,并研究了由此類可加泛函誘導的Feynman-Kac半群譜界的Lp-獨立性;文[9]借助于Kato類光滑測度,研究了對稱狄氏型的一般擾動;在非對稱狄氏型框架下,文[10]給出了Kato類光滑測度的定義,并研究了Kato類光滑測度對狄氏型的擾動;文[11]研究了符號光滑測度對廣義狄氏型的擾動;文[12]研究了符號光滑測度對半狄氏型的擾動;文[1]借助于Kato類光滑測度用局部化的方法給出了廣義Feynman-kac半群強連續的兩個充分條件.

本文給出半狄氏型框架下Kato類光滑測度的定義及關于Green核的Kato類光滑測度定義,在第二節中證明了它們的等價性;在第三節中研究Kato類光滑測度的一些基本性質.本文的結果將有助于研究半狄氏型擾動、保正型的h-變換、廣義Feynman-Kac半群強連續性、大偏差、半群譜界的Lp-獨立性等.

2 Kato類光滑測度的定義

定義2.1(關于M的Kato類光滑測度)如果一個光滑測度μ滿足

其中

則稱μ屬于Kato類光滑測度,記μ∈Sk.

定義2.2(關于Green核的Kato類Kν,β,見文[13])令ν＞0,β＞0,E上的一個光滑測度μ,如果滿足

則稱μ是關于Green核的Kato類光滑測度,記μ∈Kν,β,這里

設過程M及其轉移概率函數pt(x,y)滿足下面三個條件:

(A2.1)(生命時條件)設ζ為過程M的生命時,且

(A2.2)(Bishop型不等式)假設V為(0,∞)上正的單調函數,r→V(r)/rν是單增的或有界的,且

(A2.3)(熱核的上下界估計)令φi(i=1,2)為(0,∞)上與t0＜∞相關的單調遞減函數,且滿足如下條件

定理2.3 若(A2.1)–(A2.3)成立,則Sk=Kν,β,即定義2.1與定義2.2等價.

證 當對稱狄氏型聯系的馬氏過程有轉移密度函數時,文[13]在條件(A2.1)–(A2.3)下證明了定義2.1與定義2.2等價.因為光滑測度是正的Borel測度,故類似于文[13,引理4.4]的證明,利用證明過程與半群的對稱性或對偶無關,可得到Sk?Kν,β.當μ∈Kν,β時,得μ∈S.由Revuz對應知道存在使得

成立,對文[13,定理3.2]的證明過程稍作修改,可以得到Kν,β?Sk.由雙邊包含關系,故定理得證.

注 對于非對稱狄氏型,文[10]給出了Kato類光滑測度的定義:一個光滑測度μ∈S,如果滿足

則稱μ屬于Kato類光滑測度,記作μ∈Sk,其中為對偶過程的可加泛函,其對應的Revuz測度也為μ.由定理2.3知道,當過程M及其對偶過程都有轉移核且都滿足(A2.1)–(A2.3) 時,

即文[10]中Kato類光滑測度的定義可以簡化.

3 Kato類光滑測度的性質

性質3.1 設μ∈S,則存在一個由緊集組成的E-網{Fn},使得對每一個n,有IFnμ ∈Sk.

證 首先證明當μ∈S0時,結論成立.

設(Pt)t＞0為過程M的轉移半群,即對任意f∈L2(E;m),f≥0,有Ptf(x)=Ex[f(Xt)],Uαμ為有限能量積分測度μ的α-位勢(見文[5,注5.2]),且

則

所以

因此由文[15,命題2.18(i)]知,存在子列{Utk}及一個由閉子集{Fn}組成的E-網,使得在每一個Fn上一致地有即對任意的k有

下面證明IFnμ∈Sk.

設τn=inf{t＞0:Xt∈Fn},則

由(3.1)式知道

從而IFnμ∈Sk.

然后證明當μ∈S成立時,結論成立.

由文[5,定理5.4]的證明知,存在由緊集組成的E-網{En},使得IEjμ∈S0,故由上面的證明得:存在一個由閉子集組成的E-網{Fn,j},使得IFn,jIEjμ∈Sk.取則{Gn}為由緊集組成的E-網,且IGnμ∈Sk.故結論得證.

性質3.2 設μ∈Sk,則對任意δ＞0,存在Aδ＞0,使得對任意f∈D(E)有

證 由正則半狄氏型與擬正則半狄氏型的擬同胚(見文[3]),不失一般性,可以假定(E,D(E))為L2(E;m)上的正則半狄氏型.

首先設μ∈S0∩Sk,將證明對任意α≥0,f∈D(E),如下式子成立

設t＞0,Kt={x∈E|:={v∈D(E)|在Kt上由文[15,注2.2(iii)]知|f|∈D(E)且LKt/=?.設?eKt為α-共軛位勢,eKt為α-位勢,ˉeKt為對稱α-位勢,則

其中K為常數,所以由文[16,引理1.2]可知u為α-位勢當且僅當u為α-過分函數,所以類似于文[17,命題1]的證明,可以得到

對α＞1,由文[15,(2.1)]可得

對μ∈Sk,由文[5,定理5.4]知存在E-網{Fn}n≥1,使得μn:=IFnμ∈S0.設A為μ對應的正的連續可加泛函,則為μn對應的正的連續可加泛函.由文[5,定理5.8]知Uαμn為的一個擬連版本,因此對任意的n,

所以對任意f∈D(E)有

類似于文[6,定理4.1]得對μ∈SK有所以由(3.4)式知(3.2)式成立.

注 因為對稱狄氏型與保正型之間有很多不同,所以在證明過程中對文[17,命題2]做了適當的改進.對于半狄氏型,文[18,命題4.2]在μ滿足μU≤C0m(其中C0＞0為常數)的條件下,用不同的方法得到了式(3.3).對于非對稱狄氏型,文[19,命題4.3]利用對偶過程的Green函數得到了式(3.2).但由于半狄氏型的對偶過程不一定存在,所以文[19]的方法對半狄氏型行不通,接下來將嘗試利用文[20]中h-變換的方法考慮與此相關的問題.

[1]Ma Z M,Rockner M.Introduction to the theory of(non-symmetric)Dirichlet forms[M].Berlin,Heidelberg:Springer-Verlag,1992.

[2]Fukushima M,Oshima Y,Takeda M.Dirichlet forms and symmetric Markov processes[M].German,Berlin:Walter de Gruyter, first edition,1994;second revised and extended edition,2011.

[3]Oshima Y.Semi-Dirichlet forms and Markov process[M].German,Berlin:De Gruyter,2013.

[4]Ma L,Sun W.On the generalized Feynman-kac transformation for nearly symmetric Markov processes[J].J.The.Prob.,2012,25(3):733–755.

[5]Ma L,Ma Z M,Sun W.Fukushima’s decomposition for diffusions associated with semi-Dirichlet forms[J].Stocha.Dyn.,2012,12(4):1250003(PP.1–31).

[6]Albeverio S,Ma Z M.Additive functionals,nowhere Radon and Kato class smooth measures associated with Dirichlet forms[J].Osaka J.Math.,1992,29:247–265.

[7]Takeda M,Tawara Y.A large deviation principle for symmetric Markov processes normalized by Feynman-Kac functionals[J].Osaka.J.Math.,2013,50:287–307.

[8]Leva G D,Kim D,Kuwae K.Lp-independence of spectral bounds of Feynman-Kac semigroups by continuous additive functionals[J].J.Funct.Anal.,2010,259:690–730.

[9]Chen Z Q,Fitzsimmons P J,Kuwae K,Zhang T S.On general perturbations of symmetric Markov processes[J].J.Math.Pures.Appl.,2009,92:363–374.

[10]Chen C Z.A note on perturbation of non-symmetric Dirichlet forms by signed smooth measures[J].Acta Math.Sci.,2007,27(1):219–224.

[11]韓新方,馬麗,楊雪.廣義狄氏型的符號光滑測度擾動及其結合的馬氏過程[J].數學物理學報,2010,30A(3):623–629.

[12]王瑋,韓新方,馬麗.半狄氏型的符號光滑測度擾動[J].北京交通大學學報,2015,39(6):126–130.

[13]Kuwae K,Takahashi M.Kato class measures of symmetric Markov process under heat estimates[J].J.Funct.Anal.,2007,25:86–113.

[14]Albeverio S,Fan R Z,R ckner M,Stannat W.A remark on coercive forms and associated semigroups[J].Part.Diff.Oper.Math.Phys.,Oper.The.Adv.Appl.,1995,78:1–8.

[15]Ma Z M,Overbeck L,R ckner M.Markov processes associated with semi-Dirichlet forms[J].Osaka J.Math.,1995,32:97–119.

[16]Hu Z C,Sun W.Balayage of semi-Dirichlet forms[J].Canadian J.Math.,2012,64(4):869–891.

[17]Vondracek Z.An estimate for the-norm of a quasi continuous function with respect to a smooth measure[J].Arch.Math.,1991,67:408–414.

[18]Fitzsimmons P J.On the quasi-regularity of semi-Dirichlet forms[J].Potential Anal.,2001,15:158–185.

[19]Chen Z Q,Song R M.Conditional gauge theorem for non-local Feynman-Kac transforms[J].Prob.The.Relat.Fiel.,2003,125:45–72.

[20]Han X F,Ma Z M,Sun W.h-transforms of preserving semigroups and associated processes[J].Acta Mathematica Sinica,English Series,2011,27(2):1–8.