導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用舉例

鄧艷

摘要：導(dǎo)數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，本文通過(guò)實(shí)際例題說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在證明不等式，求極值，求單調(diào)區(qū)間以及求解幾何問(wèn)題中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；不等式；極值；單調(diào)區(qū)間；極限

導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活中有著十分廣泛的應(yīng)用，能夠優(yōu)化解決生活中的幾何問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題，本文通過(guò)具體例子說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在各方面的應(yīng)用.

1.導(dǎo)數(shù)在證明不等式中的應(yīng)用

例1 設(shè) 在 上可微，若 為 內(nèi)一定點(diǎn) ， ，證明在 上總成立 .

證明：當(dāng) 時(shí)，則 ，由 ，得 ， ，從而 在 內(nèi)單調(diào)下降，所以 ， .當(dāng) ，有 ，再由 ，可得 因此 在 上單調(diào)上升，從而 ， .綜上所述，于是可得 .

例2 已知 ，求證： .

證明 當(dāng) 時(shí)， 則要證明的不等式等價(jià)于 令 ，則 而 ，故 ，從而 .

2.導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)極（最）值中的應(yīng)用

例3 設(shè) ， 在 內(nèi)的駐點(diǎn)為 ，問(wèn) 為何值時(shí) 最小？并求出最小值.

解 由 得唯一駐點(diǎn) 考察函數(shù) 在 時(shí)的最小值.令 的唯一駐點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 因此 為極小值，也是最小值.

3.導(dǎo)數(shù)在求單調(diào)區(qū)間中的應(yīng)用

例4 設(shè)函數(shù)

（1）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間

（2）若當(dāng) 時(shí)，不等式 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍；

（3）若關(guān)于 的方程 在區(qū)間 上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根，

求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

解

（1）令 得 或 所以 的

單調(diào)增區(qū)間為 和

令 得 或 所以 的單調(diào)減區(qū)間為 和

（2）令 得 或 （舍去）由（1）知 連續(xù)又因?yàn)?， ， ，所以當(dāng) 時(shí) 的最大值為 .

于是可得： 恒成立時(shí)， .

（3）原題可以轉(zhuǎn)化為：方程 在區(qū)間 上恰好有兩個(gè)相異的實(shí)根.令 ，則 ，令 考察函數(shù)解得 ，當(dāng) 時(shí)， 所以 在 單調(diào)遞減，當(dāng) 時(shí) ，所以 在 單調(diào)遞增.

因?yàn)?在 和點(diǎn) 處連續(xù)，又因?yàn)?， ， 且 ，所以 的最大值是1，最小值 .

4.導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用

例5 曲線 的切線與 軸和 軸圍成一個(gè)圖形，記切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 ，試求切線方程和這個(gè)圖形的面積，當(dāng)切點(diǎn)沿曲線趨于無(wú)窮時(shí)，該面積的變化趨勢(shì)如何？

解，由 得 ， 則切點(diǎn) 處的切線方程為：

，切線與 軸和 的交點(diǎn)分別為 ， ：于是面積 ，當(dāng)切點(diǎn)按 軸正向沿曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，有 ，當(dāng)切點(diǎn)按 軸正方向沿曲線趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，有 .

我們通過(guò)各種例子說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的重要作用，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)以動(dòng)態(tài)的，變化的觀點(diǎn)來(lái)研究問(wèn)題.

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