高中物理中求極值問題的數學技巧

陳宇鵬

摘要：在高中物理知識學習過程中，我們要注重物理學科與數學學科之間的關聯性，將數學學科知識在物理學科中應用，可以對一些問題進行有效的求解，幫助我們對物理問題進行更加深入的分析。文章從高中物理極值問題求解入手，將數學技巧進行利用，實現對問題的有效解析。

關鍵詞：高中物理；極值；數學技巧

高中物理知識具有一定的整體性和復雜性特征，在學習過程中，我們需要勤學苦練，多動腦、多動手，才能夠學好物理。我在做物理極值題的時候，注重對數學技巧進行把握，將數學中的二次函數法、均值不等式法、三角函數法、配方法等數學技巧進行利用，很好地解決了物理極值求解問題。高中物理極值知識的解決，需要我們發散思路，能夠從多個角度去分析，尋找最有效、最快捷的方法，這樣一來，可以更好地提升我們的物理成績。

1 二次函數法求高中物理極值

高中物理中求極值問題時，二次函數法可以很好地對問題進行解析。在對二次函數法應用時，要對二次函數法的基本原理弄清，把握二次函數的基本關系式。二次函數的基本關系式為：

y=ax＼+2+bx+c（a≠0）

結合二次函數式的原理，當a>0的時候，x=＼S]b[]2a＼s，這個時候，y可獲得最小值；當a>0時，x=-＼S]b[]2a＼s，y可獲得最大值。結合二次函數法，將其在物理題中應用，我們可以從下面的例題解析中看出：

例1：假設一輛送貨車在等候綠燈，當綠燈亮的時候，這兩貨車行進的加速度為3m/s2，而正在這個時候，一輛電動車以6m/s的速度駛來，試問貨車與電動車的距離，并對距離求解。

從例1來看，在對貨車和電動車之間的距離求解過程中，要考慮到兩車的出發情況，這一過程中，要注重對s的最大值進行求解。S=s2-s1。假設在t時間后，電動車的勻速位移s1=vt，貨車的加速位移為s2=1/2at2，貨車與自行車的距離s=vt-1/2at2=6t-3/2t2，結合貨車與自行車的距離來看，實際上是對Δs這個二次函數的最大值進行求解，則Δs=＼S]4ac-b2[]4a＼s=6m。

在例1這道問題當中，對Δs的求解，利用了數學二次函數的最大值和最小值問題。這一過程中，對物理極值求解時，通過對數學的二次函數法利用，能夠更加直觀的分析問題本質，使極值求解更加簡單，有利于提升我們的物理極值解題能力[1]。當然，在對二次函數法應用過程中，我們要善于發現，能夠對物理學科和數學學科之間的關聯性進行把握，只有這樣，才能夠對二次函數法更加得心應手的應用。

2 均值不等式法求高中物理極值

均值不等式法在高中物理極值求解中的應用，主要考慮到了兩種情況，一種是a+b》2ab（a>0，b>0）的應用；另外一種則是a+b+c》33abc的利用。

例2：對電源輸出功率的最大值進行計算。

在對電源輸出功率最大值進行計算過程中，結合公式：

P=（＼S]εR+r＼s）2R

對公式P進行變換，得到P=＼S]1[]（R+r[]R）2

ε2在對P求解過程中，結合均值不等式原理，可得：（R+r[]R）≥2r，則有P=≤ε2（2r）2=ε24r，根據公式，可得到外電阻R=r。

例3：半徑為R的半圓光滑凹槽固定，一個質量為m的小球，從A點運動到B點，試問小球m在哪個位置的做功功率最大，并對功率最大值進行求解。

在對這一類問題解決過程中，要考慮到小球的運動軌跡，并且對OP在水平方向的夾角、小球的瞬時速度v進行把握，從而對瞬時功率獲取。

P=mgvcosθ

對公式轉化，并將問題進行數學變形，則有：

y2=＼S]1[]2＼s·2sin2θ·cos2θ·cos2θ

結合均值不等式原理，y2≤＼S]1[]2＼s（＼S]2sin2θ+cos2θ+cos2θ3＼s）3=＼S]4[]27＼s，

這樣一來，則有y≤＼S]4[]27＼s，當θ=arctg22時，P最大值為23mg

gR3。

均值不等式法在應用過程中，要注重對均值不等式原理進行把握，結合物理極值問題的題意，對其進行轉換，使之成為數學問題，之后巧用數學方法解決問題[2]。

3 三角函數法求高中物理極值

三角函數在高中物理極值求解中應用，主要對三角函數的特征進行把握，從而對物理極值問題進行更好地反映，找出物理極值的解題方法。

例4：一個質量為400g的小球m，初速度為v0=2m/s，并且在斜面拉力F的作用下，向上進行勻速運動。在2s由A點到達B點。其中A、B的距離為10m，斜面傾角為30°，摩擦因數μ=＼S]33＼s，重力加速度以g=10m/s2計算。求拉力F與斜面夾角為多少時，F最小，并對F最小值進行求解。

在對這一問題解決過程中，m的支持力為FN，摩擦力為Ff，拉力與斜面的夾角為α，根據牛頓第二定律，則有：

Fcosα-mgsinθ=ma

Fsinα-mgcosθ+FN=0

同時，有Ff=μFN，對上述公式進行聯立，則有

F=mg（sinθ+μcosθ）+masinα+μcosα

根據三角函數關系，可知sinα+μcosα=sinα+＼S]33＼scosα=＼S]233＼s

sin（60°+α），當α=30°時，F最小，F最小值為＼S]1335＼sN。

4 配方法求高中物理極值

在將配方法應用于高中物理極值求解問題當中，主要是對原式進行加強同項，之后進行配方，對物理極值進行判斷[3]。

例5：電源動力勢能E=3V，內電阻為1Ω，R1為2Ω，R值處于連續變化狀態，試問R的數值為多少時，消耗功率最大，并對最大功率求解。

在對這一問題解析過程中，可以將內電路看做是一部分，有r′=r+R1，在對R數值求解過程中，假設P=l2R=E2

（R-r′）2/R+4r′，這一過程中，R=r′時，R消耗的功率最大，Pmax=E24r′=0.75W。

結束語：通過上述分析來看，在對高中物理極值問題求解過程中，要注重對數學方法進行有效利用，通過數學轉換，可以對高中物理極值問題進行簡化，更好地把握問題的實質，對物理極值問題進行求解。在日后的學習當中，我們要注重把握數學學科和物理學科之間的關聯性，綜合性的分析物理極值問題，以提升我們的解題能力，提升高中物理成績。

[參考文獻]

[1]趙子怡. 高中物理常見的極值問題解法探究[J]. 科技創新導報，2016，30：160-161.

[2]胡啟振. 例說用數學方法求解物理極值問題[J]. 赤子（上中旬），2015，11：273.

[3]劉志君. 數學方法在高中物理力學中的應用[J]. 學周刊，2012，31：116-117.

（作者單位：周南中學，湖南 長沙 410000）endprint