燃油重量對改裝后通航飛機重心的影響研究

■ 劉樹文 李志敏 周小燕 張新習/西安新宇航空維修工程有限公司

隨著我國近年來通航產業的快速發展,通航飛機的數量也大幅增加[1]。作為通航飛機的主力軍，賽斯納208飛機不僅可用于航空旅游、航空救援、航空攝影、人工增雨等領域，還可利用其獨特的飛行性能與狀態完成各種雷達掛飛、其他電子產品掛飛試驗等。飛機要完成以上各種不同的特殊任務，僅保持原機狀態已不能滿足要求。國內近年已有多家通航企業取得了民航局授予的通航飛機加裝、改裝資質，可對賽斯納208、Y12等通航飛機進行各種適應性改裝。

飛機進行適應性改裝后，重量重心必然發生改變，將影響其載重平衡和飛行員對飛機姿態的控制，同時也影響飛機的燃油消耗，嚴重時會影響到飛行安全[2]。飛機改裝單位在每架飛機改裝之前都要對重量重心進行計算，根據計算結果與飛機重量重心包線進行對比分析，判斷改裝方案的合理性。

飛機燃油重心位置隨重量變化而變化。為了便于分析計算，本文根據已有的重量與力矩數據表，利用最小二乘法擬合一條近似直線，得到最優燃油力臂值。根據計算所得燃油力臂值來分析飛機重心位置隨燃油重量變化的規律，并通過與飛機重量重心包線的對比，判斷飛機改裝方案的合理性。

1 基于最小二乘法的飛機燃油重心位置計算

1.1 飛機燃油重量和力矩關系分析

由飛機飛行手冊中的燃油重量和力矩表可知燃油力矩值隨燃油重量的變化而變化。由于飛機攜帶的燃油主要加在機翼油箱內，且飛機飛行中左右機翼內的燃油對稱使用，因此燃油力矩值與其重量呈近似線性關系[3]，如圖1所示。

經過改裝的飛機在飛行中，隨著燃油的消耗，重量越來越小；由圖1知燃油的力臂值分別為圖中每一個重量和力矩對應點的斜率，而所有對應點的斜率近似相等。為便于分析燃油重量變化對整個飛機重量重心的影響，利用數學方法計算出該近似斜率值尤為必要。

1.2 最小二乘法擬合直線

根據給定的數據(xi，yi)，(i=1，2，…，n)選取近似函數形式,即給定函數類H，求函數φ(x)∈H，使得

這種求近似函數的方法稱為數據擬合的最小二乘法[4]。

燃油重量和力矩表中的所有數據都是有益的，假設燃油重量值為x，其對應的力矩值為y，x與y的函數關系為：

利用最小二乘法，根據燃油重量和力矩表中的數據擬合此函數關系，即使得的值最小，對上式的a，b分別求偏導得：

令兩式值均為0，整理得方程組：

解上面方程組得：

由表1知i的最大值n=67，本文借助MATLAB軟件的數據計算功能，根據最小二乘法擬合直線的原理編寫擬合函數，通過矩陣計算得：

1.3 基于MATLAB的擬合直線偏差分析

由上文得擬合直線函數為：

即燃油力臂近似值為5.1627m（賽斯納208型飛機重心位置參考基準面為飛機防火墻前100英寸處的假想平面)。

在MATLAB軟件中將xi值代入擬合直線函數得yi'，計算得max|yi'-yi|=3.01kg?m，即利用燃油力臂近似值計算燃油產生的力矩，最大偏差值為3.01kg?m。

假設zi=yi/xi，即zi為燃油在不同重量時的力臂值。計算得max|zi-a|=32.392mm，最大值在燃油重量較小時取得。在燃油重量大于330磅而小于最大燃油重量時max|zi-a|=13.8547mm。

由以上計算分析可得，在飛機正常飛行狀態下，利用5162.7mm作為燃油重量力臂值計算燃油力矩，產生的偏差較小，滿足飛機重量重心計算要求。

2 燃油重量變化對改裝后飛機重心影響分析

2.1 飛機重心與燃油重量關系分析

經過改裝的飛機,由于在機艙內或機身外部加裝設備后總重量發生了變化,重心位置也隨著加裝設備重量與位置不同發生了較大變化。

假設飛機改裝后使用空機零燃油重量為G0（小于飛機最大起飛重量)，飛機此時力臂值為L0，飛機燃油重量為G1，飛機燃油力臂值為上文計算所得L1=5162.7mm，則飛機總重量（小于飛機最大起飛重量)為：

飛機總力臂（加燃油)為：

飛機重心為：

式中G0、L0、L1、L2、M均為定值。令y=C.G MAC，x=G1。飛機在飛行過程中，燃油隨著被消耗，重量越來越小，即x值越來越小，隨著x值減小，y值也在變化。

對飛機重心計算公式求導得：

由于L1-L0＞0 ，y'恒大于0，隨著x值減小，y'值變大，即y值隨著x值的減小而減小，y與x函數關系曲線斜率隨著x值減小而增大。取G0=3157.9kg，L0=5050mm，G1為飛機燃油重量值，為了便于計算分析，其具體值選用大于213kg而小于最大燃油重量的值進行計算，L1=5162.7mm，L2為飛機平均空氣動力弦前段距離飛機重心位置參考基準面值，本文中取4510mm ，M為平均空氣動力弦長，值為1687mm。在MATLAB數學計算軟件中對y與x函數關系進行計算，其函數關系如圖2所示。

圖1 燃油重量和力矩關系

圖2 飛機重心與燃油重量關系曲線圖

圖3 飛機重心與飛機總重量關系曲線圖

圖4 改裝后飛機重心隨燃油重量變化曲線與飛機重心包線圖

2.2 飛機重心與飛機總重量關系分析

假設飛機總重量G0+G1=a，飛機重心C.G MAC=b，則飛機重心計算公式為；

由于L0-L1＞0 ，b'恒大于0，隨著a值減小，b'值變大，即b值隨著a值減小而減小，b與a函數關系曲線斜率隨著a值減小在增大。由于本文研究的賽斯納208飛機改裝后空機零燃油重量為G0=3157.9kg ，此型飛機最大起飛重量為3968kg，因此計算分析中燃油重量選用大于213kg小于806.3kg的重量值，飛機重心與飛機總重量關系曲線如圖3所示。

2.3 改裝后飛機重心變化合理性分析

由賽斯納208飛機飛行手冊可知飛機前重心范圍：飛機重量為2497kg或者更低時，前重心在3.06% MAC處，重心位置隨飛機重量變化呈線性變化；飛機重量為3632kg時，前重心在23.80%MAC處；飛機重量為3972.5kg時，前重心在32.50% MAC處。飛機后心范圍：飛機重量為3972.5kg以下的所有重量下，后重心在40.33% MAC處。

在MATLAB軟件中繪制飛機重心包線和飛機改裝后重心變化關系曲線，如圖4所示。

由圖4知，飛機經過適應性改裝后，隨著燃油在飛機飛行過程中的消耗，其重心始終在飛行包線范圍之內，滿足飛機重量重心要求。

3 結束語

利用最小二乘法原理，根據賽斯納208型飛機飛行手冊提供的燃油重量和力矩數據，在MATLAB軟件中擬合出了飛機燃油重量與力矩關系函數，并計算出便于飛機重心計算的燃油重心力臂值；計算分析了飛機在某種適應性改裝后其重心位置隨燃油重量變化而變化的規律，并通過飛機重量重心包線判斷了某種適應性改裝的合理性。本文提出的飛機燃油重量與力矩關系函數計算方法及根據重量重心包線判斷飛機改裝合理性的方法，同樣適用于賽斯納208B、Y12等其他通航飛機，也為通航飛機改裝后重量重心計算提供了參考依據。

[1]李海峰，栗德祥. 美國通航發展對我國通航機場規劃的啟示[J]. 沈陽航空航天大學學報. 2012(01).

[2]張貴明.飛機的載重平衡與重量重心的獲取[J]. 科技創新與應用.2014(28).

[3]王彩霞. 飛機配載管理系統的設計與開發[J]. 西安理工大學,2010.1.

[4]張德豐. MATLAB數值計算方法[M]. 北京：機械工業出版社，2000.