利用俯視圖確定小立方體的個數

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我們在研究幾何體視圖問題時，經常會遇到已知幾何體的主視圖和俯視圖，確定搭成幾何體的小立方體的個數最多和最少的問題.對于這類問題，同學們普遍感到困難.下面介紹一種比較簡便易行的解題策略，供同學們參考.

我們可以根據主視圖，在俯視圖上的每一個小正方形上標出每一個小正方形所在處可能擺放小立方體的數目，再把這些數按照所給要求相加，從而計算出搭成幾何體所需立方體的個數.具體方法如下：

第一步：根據主視圖數出每列中的小正方形個數，在俯視圖對應的列（從左到右的順序）的第一行（從上到下的順序）的每一個小正方形內填入相應的數字；

第二步：在俯視圖對應的列的其他行的小正方形內填入不超過第一行且不低于1的整數；

第三步：若要求的是最多需要小正方體的個數，則應取俯視圖中每一個小正方形上最大的數字（若相同，則任取一個），再把它們相加，即可得最多小正方體的個數；若要求的是最少需要小正方體的個數，則應取俯視圖中每一個小正方形上最小的數字（若相同，則任取一個），再把它們相加，即可得最少小正方體的個數.

例1 如圖1，是由一些相同的小正方形構成的立體圖形的三種視圖.構成這個立體圖形的小正方體的個數是（ ）.

A.4 B.5 C.7 D.8

【思路分析】由主視圖可知：

（1）俯視圖最左邊有兩層高，因此俯視圖最左邊兩格都可能有2層，至少是1層，兩個至少有一個是2層；

（2）俯視圖右邊兩格肯定一層高.每一格可能層數如圖2所示.

由左視圖可知：俯視圖最下面一個肯定一層，上面3格可能1層或2層，但至少1層，且至少有一個為2層.每一格可能層數如圖3所示.

綜合圖2、圖3可知，各格小立方體數如圖4所示，因此小正方體的個數是5個.

【點評】可以將由主視圖、左視圖得到的信息標在俯視圖中，綜合處理這些信息得出俯視圖每個方格中立方體的個數，從而求出總共有多少個小正方體.

例2 一個幾何體是由若干個相同的正方體組成的，其主視圖和左視圖如圖5所示，則這個幾何體最多可由多少個這樣的正方體組成？（ ）

A.12個 B.13個 C.14個 D.18個

【分析】由主視圖和左視圖寬度可知，該幾何體的俯視圖應該在如圖6所示3×3的范圍內.

由于主視圖兩旁兩列有兩層小方格，中間一列1層小立方體，因此俯視圖區域內每個方格內小正方體最多個數如圖7所示.

由左視圖信息，可知俯視圖區域內每個方格內小正方體最多個數如圖8所示.

綜合圖8、圖9信息可知俯視圖區域內每個方格內小正方體最多個數如圖9所示.

【點評】本題沒有俯視圖，借助主視圖的寬與俯視圖的寬相等，左視圖的寬與俯視圖的高相等，將俯視圖限制在一個3×3的方格內，然后在俯視圖的方格內標出可能的數字，求出這個幾何體中小正方體的個數.

當然，求搭成這樣幾何體的小立方體的個數的方法還很多，同學們在以后的學習中要多注意留心總結，爭取找到最簡潔的解題方案.

（作者單位：江蘇省常州市武進區前黃實驗學校）