意想不到的反轉

劉金龍

數學最吸引人的地方，有時候是因為它“難”，“難”到實際情況與表面現象不符，甚至完全相反。正是這樣的情況讓人不由得想要開動腦筋，一探究竟。

錄取比例引發的爭議

學校新開設了一個藝術社團，同學們紛紛踴躍報名，以致于報名人數遠遠超出了社團所能容納的人數。于是，社團采取了選拔錄取的方式來控制入社人數。

選拔結束后，團長葛麗麗拿著名單慌慌張張地來到校長辦公室：“校長，不好了，不好了！”

校長知道葛麗麗平時處事很穩重，詫異地問道：“怎么了？出什么事了？”

葛麗麗報告說：“男生說我們的社團選拔本來挺好的，讓有特長的同學能更好地學習、發揮，可他們不能容忍社團的性別歧視行為。”

校長更驚詫了，學校可是公平對待每位學生的，怎么可能會出現這種情況？

“性別歧視？怎么說？”

葛麗麗繼續說道：“某位數學尖子生看了社團的錄取名單公示后，說我們社團有性別歧視，女生的錄取率是男生的2倍。我們一算，還真是這樣。”

校長雖然不解，但是對這個錄取情況更感興趣了：“哦，還有這樣的情況？我們可是公平、公開、公正地選拔。你把錄取情況拿給我看看。”

葛麗麗將社團錄取情況統計表遞給校長。

校長笑著夸獎葛麗麗：“你辦事還真是細心，這份表格一目了然！”

“謝謝校長夸獎！女生的錄取率是42%，而男生的錄取率僅有21%，這樣對男生好像確實不公平。”葛麗麗大著膽子說。

校長聽完后哈哈大笑：“你們啊，都被那位同學帶到了一個誤區，走進了一個悖論里。”

葛麗麗聽得一頭霧水，卻又看不出這里有什么不對。

我看社團確實存在性別歧視，錄取的女生明顯比男生多。

別這么輕易下結論，學校對待每位學生都是公平的，哪有什么性別歧視，且聽聽校長怎么說吧。

哪支球隊實力更強

校長召集大家開會的消息傳開了。聽說要解釋社團男女生錄取比例的問題，那些未被選上的學生，尤其是男生，早早來到操場，都想聽聽校長怎么說。

看著黑壓壓的一大片學生，校長說道：“同學們，大家對藝術的熱忱，我都看到了。今天我想給大家講個故事。”人群中一陣騷動，不是說給大家解釋社團招新的事嗎？怎么變成講故事了？

校長緩緩地說道：“故事講完后，我有個問題需要大家和我一起探討。”

一聽到要和校長一起探討問題，大家都安靜了下來。

“曾經，幾位籃球業余愛好者臨時組建了一支籃球隊，他們想知道自己的實力，于是決定和專業的籃球隊進行50場比賽。他們先與高水平球隊比賽10場，只勝了1場。隨后，他們又與普通球隊比賽40場，結果勝了20場。所以，他們總的獲勝概率是42%，成績好像還不錯。”

聽到這兒，有人提問了：“如果他們一開始就挑戰普通球隊，總的獲勝概率會不會更高？”

“可是，當他們挑戰高水平球隊時，他們會輸得很慘吧！”

校長笑了笑，示意大家安靜，繼續說：“這時候，又有另一支業余籃球隊組建起來了。他們同樣先挑戰了高水平球隊，連續比賽了40場，勝了6場。隨后，他們挑戰了普通球隊，賽了10場，全勝。所以，他們總的獲勝概率是32%。”

“他們挑戰普通球隊時是全勝啊，怎么會這樣？”

“是啊，看他們跟高水平球隊比賽的情況，也不比第一支球隊差。”

“同學們，你們當中有很多是籃球愛好者，數學也很棒。大家覺得這兩支業余球隊，誰更厲害？”校長提問。

“看數據，第一支球隊總的獲勝率更高。”

“我感覺第二支球隊的水平更高。”

“第二支球隊更厲害啊，都完勝普通球隊了。”

這是怎么回事？明明感覺是第二支球隊更厲害，可統計數據卻顯示第一支球隊的獲勝概率更高。

和他們比賽的球隊不是都有水平層級嗎？條件不一樣得出的結論當然不一樣了。你要好好思考，不可光看這個籠統的統計結果。

聽完大家的議論，校長說道：“按數據顯示，確實是第一支球隊總的獲勝概率要高一些，可光憑這個數據就判定兩支球隊的水平，顯然是不行的。很明顯，第二支球隊的實力要高于第一支球隊。大家看，第一支球隊與高水平球隊打的場次少，與普通球隊打的場次多，所以勝的總場次多。但其實他們與高水平球隊打時獲勝概率是10%，與普通球隊打時獲勝概率是50%。而第二支球隊與高水平球隊打的場次多，與普通球隊打的場次少，他們的獲勝概率：前者達到15%，后者達到100%。顯而易見，第二支球隊的實力要遠遠高于第一支球隊。”

“感覺這個數據和社團的錄取情況統計數據有些相似！”葛麗麗突然醒悟道。

“你們發現了嗎？在社團招新中，音樂類和美術類的錄取率相差很大，音樂類的錄取率很高，而美術類的很低，同時男生女生的申請者分布比重相反。其中申請音樂類的男生錄取率為75%，遠遠大于女生。美術類的錄取率雖然都偏低，但男生的錄取率同樣高于女生，所以我們切不可將兩者進行簡單地直接匯總，否則大家就掉入一個辛普森悖論的陷阱里了。”校長笑著對大家說道。

哇！部分和整體竟然有這么大的差別，真是不可用量來衡量質啊！

終于明白了吧！以后可要好好學數學，別再鬧出大笑話了。簡單直接匯總分組數據，是不能反映真實情況的。為了避免辛普森悖論的出現，我們可以根據重要程度讓各分組數據乘以一個分數。如果兩組數據同等重要，那么它們都乘以1/2，否則所乘分數將不同，但兩個分數之和為1，以此消除各分組數據差異所造成的影響。