平面鋼框架彈塑性分析的塑性區法

(廣西大學 廣西 南寧 530000)

平面鋼框架彈塑性分析的塑性區法

蘭天李雍友

(廣西大學廣西南寧530000)

本文基于三段式線性分布模型，考慮塑性沿桿長度方向的漸變過程，推導了平面鋼框架的彈塑性單元剛度矩陣，利用C源程序編制了平面鋼框架彈塑性分析的QR計算格式。該方法可以綜合考慮材料非線性和幾何非線性的影響，具有求解未知量少、計算精度高等優點。

平面鋼框架；彈塑性；QR法；程序設計

一、前言

傳統的塑性鉸模型[1]限定了塑性沿桿長度方向的發展，而塑性區模型[2]則可以很好地描述這一過程。基于塑性變形理論的三維殼單元模型[3]和基于梁柱理論的梁柱單元模型[4]的分布剛度模型需要對桿件進行很多單元的劃分，同時對截面也需要劃分為很多網格纖維，求解時需要進行大量復雜的積分運算才能得到彈塑性剛度矩陣，計算效率低下。相較于傳統的有限元分析方法，利用QR法進行考慮非線性問題[5]的平面鋼框架分析則可以極大地提升計算效率，降低計算成本[6]。

二、三段式線性分布剛度模型

圖1 三段式分布剛度模型

如圖1所示，一等直截面桿AB長為l，桿件的兩端發生塑性變形，其塑性區的長度分別為li，lj，中間彈性部分的長度為l0，左右兩端的截面抗彎剛度分別為EIi、EIj，截面抗拉(壓)剛度為EAi、EAj，中間段的截面抗彎剛度EI0，截面抗拉(壓)剛度EA0，假設截面剛度由桿端塑性區過渡到中間彈性區的變化規律為線性變化。

截面抗彎剛度沿桿長的分布可以用下式表示：

(1)

同理，截面抗拉(壓)剛度沿桿長的分布可以用下式表示：

(2)

假設彎矩沿單元長度的變化近似為線性變化，則塑性區的長度可按式(3)、式(4)計算，見圖2。

li=(|Mi|-|Mj|)/(|Mi|+|Mj|)·l

(3-4)

圖2 單元彎矩分布模型

三、彈塑性單元剛度矩陣

與有限元方法相同的思路，單元剛度矩陣按式(5)計算

(5)

將上述剛度分布式帶入到式(5)中，最終推導所得的結果為：

其中：

四、程序設計流程

圖3 平面鋼框架結構彈塑性分析的流程圖

五、算例分析

文獻[7]中Vogel六層兩跨框架進行對比分析，可以得到圖5、圖6的頂點位移圖。

圖4 一階彈塑性分析框架頂層側移與荷載因子曲線

圖5 二階彈塑性分析框架頂層側移與荷載因子曲線

由圖5可知，對六層兩跨鋼框架結構進行一階彈塑性分析時，本文的計算結果與有限元模擬的結果和文獻[7]計算的結果基本吻合，本文計算極限承載力與文獻[7]誤差為3.2%，與有限元的誤差為1.8%。

由圖6可知，考慮二階效應時，彈塑性分析的承載力大于僅考慮二階彈性時的承載力，結構整體極限承載能力降低，延性增大。且本文考慮幾何非線性時的頂層側移量大于文獻[7]的計算結果。

六、結論

本文基于QR法編制了平面鋼框架結構非線性分析的C語言程序，并對典型算例進行分析，得出如下結論：平面鋼框架結構QR法與有限單元法相比，需要的單元數量少，求解精度高，采用QR法對六層兩跨鋼框架結構分析時僅需劃分42個單元，而用有限軟件分析至少需要劃分上千個單元才能達到相同的精度，QR法所需內存僅為有限元的0.1%，在減少內存使用量的同時也提高了計算速度。

[1]吳可偉.空間桿系結構的彈塑性大位移分析[D].清華大學,2012.

[2]Nguyen P C,Doan N T N,Ngo-Huu C,et al.Nonlinear inelastic response history analysis of steel frame structures using plastic-zone method[J].Thin-Walled Structures.2014,85(85):220-233.

[3]Avery P,Mahendran M.Analytical Benchmark Solutions for Steel Frame Structures Subject to Local Buckling Effects[J].Advances in Structural Engineering.2000,3(3):215-229.

[4]F C W.Advanced analysis in steel frames[M].Boca Raton:CRC Press,1993.

[5]李輝.鋼結構非線性分析[J].科技與企業.2014(15):105.

[6]李秀梅.高層鋼框架結構的新方法研究[D].南寧:廣西大學,2008.

[7]黃哲華.平面半剛性連接鋼框架抗震分析的Pushover-QR法[D].廣西大學,2010.