有限元法的力學基礎中空間一點應力狀態矩陣化思維教學研究

伍建偉　淮旭鴿　趙亮亮　鮑家定

【摘 要】彈性力學是有限元法的力學基礎，空間一點應力狀態是實際中我們常常遇到的問題。然而，目前這部分的教學內容都是基于微小單元通過力學平衡的角度來進行嚴密推導的，計算上顯得繁瑣，教學效果并不理想。對此，該文在嚴謹力學推導的基礎上，總結出空間一點應力在不同斜面上的應力狀態，實質上就是應力矩陣和斜面外法線的數學運算，而主應力和主平面即為求解應力矩陣特征值和特征向量的問題。通過空間一點應力狀態的矩陣化思維，概念清晰、容易記憶、且運算簡單，可以很方便地結合現代計算機技術進行計算求解。

【關鍵詞】有限元；應力狀態；特征值；特征向量；教學研究

中圖分類號：TB121/G642.0 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）26-0231-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.26.106

Teaching research on matrix representation of spatial stress state in the mechanics foundation of finite element method

WU Jian-wei HUAI Xu-ge ZHAO Liang-liang BAO Jia-ding

（Mechanic and Electronic Engineering，Gulin University of Electronic Technology，Guilin Guangxi 541004，China）

【Abstract】Elasticity is the mechanical basis of the finite element method. Space stress state is a common problem in practice. However， the current teaching content of this part is based on the micro-units to perform a rigorous derivation from the perspective of mechanical equilibrium. The calculation is cumbersome so that the teaching effect is not ideal. Then， based on the rigorous mechanics derivation， the spatial stress state on different planes is analyzed and summarized in this paper and essentially the mathematical operation of the stress matrix and the outer normal vector of the plane. In fact， calculating the principal stress and the principal plane is converted to solve matrix eigenvalues and eigenvectors. Through the matrix representation of a point stress state in space， the concept is clear， the expression is easy to remember， and the operation is simple， which can be conveniently combined with modern computer technology to solve.

【Key words】Finite element method； Stress state； Eigenvalues； Eigenvector； Teaching research

0 前言

有限元分析[1-3]是隨著計算機技術發展而迅速發展起來的一套力學問題數值求解方法，是解決復雜工程問題動靜態分析十分重要的工具，在培養學生的科學研究能力和工程應用能力中起著十分重要的作用。彈性力學是有限元法的力學基礎，空間一點應力狀態是實際中我們常常遇到的問題。然而，目前這部分的教學內容都是基于微小單元通過力學平衡的角度來進行推導的，雖然嚴謹，但在計算上卻顯得繁瑣，學生不但計算不便，其公式也難以記憶。還有學生甚至表示，材料力學中的平面應力狀態的公式就難以記憶并應用。通過課后作業情況來看，這部分內容的教學效果并不理想。

對此，本文在嚴謹的力學推導基礎上，總結出空間一點應力在不同平面上的應力狀態，實質上就是應力矩陣和斜面外法線的簡單數學運算，而主應力和主平面即為應力矩陣的特征值和特征向量問題。據了解，大二上學期本科生已經學習了線性代數，完全可以用矩陣思維來進行運算求解，一方面能夠鞏固所學知識，另一方面也有利于所學知識的運用。最后，通過舉例來說明了空間一點應力狀態在不同斜面的表示以及主應力和主平面的求解流程。

1 空間一點應力狀態

1.1 任意斜面上空間一點應力狀態

假定已知一點P處坐標面上的6個應力分量，求經過該點斜面上的應力。為此，在P點附近取一個平面ABC，平行于這一斜面，并與經過P點而平行于坐標面的三個平面形成一個微小的四面體PABC，如圖1所示。當四面體PABC無限減小而趨于P點，平面ABC上的應力就是該斜面上的應力[4]。

設平面ABC的外法線為n'，其方向余弦cos（n，x）=l，cos（n，y）=m，cos（n，z）=n。

如果需要得到切應力為τn在斜面的方向，則需要先定義一個沿該斜面的坐標系，然后通過px，py，pz向該坐標系投影來計算。

根據平面方程的概念可知，若給定一個斜面方程：

易知，A， B和C為該平面外法線n'的坐標，將外法線n'進行單位化，得：

式中，l，m和n為該平面外法線n'沿各個坐標的方向余弦。

1.2 任意斜面上空間一點應力狀態的矩陣表示

事實上，式（1）、（2）均可以用矩陣形式來進行表示。式（1）矩陣表示如下：

上式中，p為斜面應力沿各個方向坐標的向量，σ為應力矩陣，n'為斜面外法線向量的方向沿各個坐標的方向余弦。

根據式（8），則式（2）矩陣表示如下：

根據式（9）和（11）代入式（4）中，利用數學軟件（如Matlab、Mathematica、Maple等）就可以計算沿該斜面的切應力。

2 主應力和主平面

經過一點P的某一斜面上的切應力為0，則該斜面上的正應力稱為P點的一個主應力，該斜面稱為P點的一個主平面，而該斜面的法線方向稱為P點的一個主應力方向。

假設在P點的主平面存在。由于該面上的切應力等于0，所以該面上的全應力就等于該面上的正應力，也就等于主應力σ。于是，該面上的全應力在坐標軸上的投影為：

將式（12）代入式（1）中，整理得：

此外，還有方向余弦的關系式：

l2+m2+n2=1（14）

因此，說明l，m和n不能全為0。說明該方程（關于l，m和n的方程）有非零解，即系數行列式等于0：

從式（13）、（14）和（15）中可以看出，主應力其實就是應力矩陣σ的特征值，而l，m和n則為該矩陣的特征向量的三個分量，只不過此時的特征向量需要單位化。當然，如果出現重特征值時，還需要將特征向量進行正交化。事實上，式（13）也可以寫成矩陣的形式：

上式中的λ為特征值（即主應力σ），與線性代數表示的特征值與特征向量的形式完全一致。

根據線性代數的定理可知，對于實對稱矩陣而言，特征值為實數。根據切應力互等定理，可知應力矩陣σ為實對稱矩陣，說明主應力為實數。根據線性代數關于特征值和特征向量的計算方法，得到l，m和n后，便確定了主應力和主平面。

空間一點應力狀態矩陣化表達后，利用矩陣的運算方法，根據數學軟件很容易計算空間一點應力的主應力和主平面。下一節將舉例說明空間一點應力狀態的計算過程。

3 空間一點應力狀態計算舉例

3.1 給定斜面上空間一點應力狀態的計算

已知某點的應力分量為σx=1MPa，σy=2MPa，σz=3MPa，τxy=0.5MPa，τyz=0，τzx=1MPa。在經過的平面x+2y+2z=1上，求沿坐標軸方向的應力分量，以及該平面上的正應力和切應力。

解答如下：

根據已知條件可知，應力矩陣和該平面單位化的法線向量為：

n'=lmn=1/32/32/3

根據式（9）、（11）和（4），代入數值便可以得到在該平面上沿坐標軸方向的應力分量、該平面上的正應力和切應力，如下：

其中，上面三式中得到的數值單位為MPa。

3.2 主應力和主平面的計算

已知某點的應力分量為σx=σy=50MPa，σz=4MPa，τxy=0MPa，τyz=τzx=10MPa，求主應力和主平面。

解答如下：

根據已知條件可知，應力矩陣：

利用Matlab軟件進行計算，通過一條命令（調用eig函數）就可得到特征值和特征向量，即主應力和主平面的外法線向量：

4 結論

本文在嚴謹的力學推導基礎上，得出兩個結論：（1）空間一點的應力狀態在不同斜面的表示可以由應力矩陣和該斜面的外法線向量進行運算得到；（2）空間一點應力狀態的主應力和主平面，可以通過計算應力矩陣的特征值和特征向量得到。通過空間一點應力狀態的舉例計算，說明這種矩陣化方法可以很方便地結合現代計算機技術求解一點應力在不同平面上的應力狀態以及主應力和主平面，概念清晰，容易記憶，且運算簡單。

值得注意的是，本文僅僅一個關于空間應力狀態的矩陣化思維的方法，實際中還有很多類似的問題。通過矩陣化表示和運算，能夠極大地簡化我們所遇到的問題，應當有效地應用到我們的教學中來，提高教學效果。

【參考文獻】

[1]曾攀.有限元分析及應用[M].清華大學出版社，2004.

[2]胡于進，王璋奇.有限元分析及應用[M].北京：清華大學出版社，2009.

[3]伍建偉，蔣占四，劉夫云，等.機械專業有限元原理及應用課程教學改革研究[J].科技創新導報.2017（05）：193-194.

[4]蘇少卿，劉丹丹，關群.彈性力學[M].武漢：武漢大學出版社，2013.