基于非線性狀態估計的常見濾波算法性能研究

劉朋朋

【摘 要】對于車載組合導航定位系統，當姿態誤差角較大或車輛機動性強時，系統狀態方程和量測方程皆為非線性，為了提高導航定位精度，需要利用非線性濾波進行狀態估計。本文從原理上闡述了四種常見的非線性濾波算法，并研究了各算法的性能差異。

【關鍵詞】濾波算法；擴展卡爾曼濾波；無跡卡爾曼濾波；容積卡爾曼濾波；粒子濾波；估計精度；實時性

中圖分類號：U666.1 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）26-0138-001

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.26.061

Research on Performances of the Regular Filtering Algorithms for Nonlinear State Estimation

LIU Peng-peng1，2

（1.Sergeant School of Rocket Force，Qingzhou，Shandong，262500，China；

2.National Key Lab.of Armament Launch Theory & Technology，Rocket Force University of Engineering，

Xian，Shanxi，710025，China）

【Abstract】As for the vehicle integrated navigation and positioning system，when the attitude error angles are large or the vehicle maneuvers quickly， the systems state equation and measurement equation are nonlinear；so nonlinear filtering algorithms should be used according in order to improve the accuracy of navigation and positioning.Four regular nonlinear filtering algorithms are stated in this paper，and their different performance is studied.

【Key words】Filtering algorithm；Extended Kalman filter；Unscented Kalman filter；Cubature Kalman filter；Particle filter； Estimation accuracy；Real-time performance

車載組合導航定位系統通常是以捷聯慣導系統為主系統，組合其他定位系統，通過濾波算法將各傳感器測量的數據進行融合后，對載車的實時狀態或狀態誤差進行估計，取得高于單獨使用一種系統的導航定位精度，具有非常高的容錯性和可靠性。

當姿態誤差角較大時，車載組合導航定位系統系統方程和量測方程均呈現非線性，此時采用卡爾曼濾波，定位的精度將會大大降低。為了提高車載組合導航系統的精度，卡爾曼濾波器在線性高斯卡爾曼濾波的基礎上向著非線性非高斯濾波的方向發展，如擴展卡爾曼濾波、無跡卡爾曼濾波、粒子濾波、容積卡爾曼濾波等。本文從原理上分析了以上四種常見的非線性濾波算法在組合導航定位系統中的應用，為組合導航定位中的算法應用提供參考。

當失準角較大或載車機動時，組合導航系統屬于非線性系統，此時利用線性卡爾曼濾波器，會導致精度不高，甚至濾波發散，因此，需利用非線性濾波器進行濾波，從而實現組合導航定位處理。下面對當前幾種常用的非線性濾波器從原理上進行闡述和研究。

1 非線性狀態空間模型

本文研究的對象為非線性離散時間下的狀態空間模型，其狀態方程與量測方程表達式分別為：

其中，Xk表示目標在k時刻的系統狀態向量，Zk為k時刻系統狀態的量測值。f和h分別是系統的狀態轉移方程和量測方程，二者均為非線性函數。g和j為適當維數的系數矩陣。系統噪聲wk是均值為零，方差為Qk的高斯白噪聲序列。量測噪聲vk與系統狀態噪聲相互獨立，是均值為零，方差為Rk的高斯白噪聲。

2 擴展卡爾曼濾波（EKF）

20世紀60年代提出的擴展卡爾曼濾波（Extended Kalman Filter，EKF）屬于次優濾波器，它是將非線性系統模型一階或二階泰勒級數展開，使非線性函數線性化，從而利用卡爾曼濾波的框架結構進行濾波。

EKF的缺點是僅僅利用了非線性函數泰勒展開式的一階或一、二階偏導數部分進行近似，精度最多只能達到二階精度，并且算法需要計算雅可比矩陣，當系統狀態為多維時計算量比較大；另外在強非線性和非高斯環境下跟蹤性能較差，甚至出現濾波發散。

3 無跡卡爾曼濾波（UKF）

無跡卡爾曼濾波（Unscented Kalman filter，UKF）是基于“對概率密度分布近似要比對非線性函數近似要容易實現”的思想提出的，它也是基于線性卡爾曼濾波的基本框架，采用UT（Unscented Transformation）變換取代局部線性化，通過具有不同權值的2n+1個確定性Sigma采樣點，經非線性函數傳播來逼近高斯狀態分布的均值和方差，采樣點經過非線性系統方程轉換后捕獲的后驗均值和方差能夠精確到非線性系統泰勒級數展開的三階項，因此UKF精度能達到三階精度，高于EKF的二階精度，而計算量卻與EKF相當，但它不（下轉第147頁）（上接第138頁）用計算雅可比矩陣，UKF仍假設系統噪聲服從高斯分布，但不要求系統是近似線性的。

4 粒子濾波（PF）

粒子濾波（Particle Filtering，PF）算法，基于蒙特卡羅（Monte Carlo，MC）和遞推貝葉斯估計，利用狀態空間中一系列加權隨機樣本集來近似系統狀態的后驗概率密度函數，以樣本均值來代替積分運算，然后根據觀測量不斷地調整粒子的權重和位置，并通過調整后驗粒子的信息，修正最初的先驗條件分布，從而獲得狀態最小方差的估計過程。該算法是一種近似最優濾波，理論上可適用于任何能用狀態空間模型表示的非線性非高斯系統，該方法不受線性化誤差和高斯噪聲假定的限制，可以處理強非線性、非高斯噪聲系統模型的濾波。但粒子權重的方差增大會引起嚴重的粒子退化問題。隨著PF算法迭代次數的增加，PF中的粒子只有一個或幾個保持較大的權值，而大多數粒子的權值退化到幾乎為0，造成粒子退化問題。

5 容積卡爾曼濾波（CKF）

為了克服UKF在高維系統中出現的數值不穩定以及精度降低等問題，加拿大學者Arasaratnam等基于spherical-radial cubature準則和球面-徑向積分原理，提出了容積卡爾曼濾波[9-11]（Cubature Kalman filter，CKF），應用于高維非線性系統，具有較好的穩定性和精度。CKF基于高斯濾波框架，采用cubature規則近似非線性函數傳遞的后驗均值和方差，與UKF相比，CKF的理論推導更為嚴密，CKF的采樣點比UKF采樣點少一個，通過2n個同等權值且都大于零的Cubature點經非線性系統方程轉換后產生新的點來給出下一時刻系統狀態的預測，同樣無需對非線性模型線性化，CKF濾波器的方差陣能夠保持正定，使CKF對高維系統具有更好的估計性能。

總結四種非線性濾波算法的適用范圍，如表1所示，它們都可應用于線性高斯條件，PF算法應用范圍最廣，還可應用于非線性條件和非高斯噪聲下，CKF和UKF可應用于非線性高斯條件，而EKF只能適用于弱非線性條件下。

本文從原理上對四種常見的非線性濾波算法進行了研究，為車載組合導航算法的選取提供了一定參考價值。四種濾波算法都采用其標準形式，當噪聲未知或發生時變情況下，濾波會出現逐漸發散的趨勢，所以應該對非線性濾波器的適應能力進行提高，下一步研究方向是將自適應算法或強跟蹤算法與非線性濾波進行結合。