高等數學教學設計之動力催生策略

滕遠江

【摘 要】鑒于高等數學教學過程中存在學生學習動力不足的現狀，本文針對教學設計具體地給出動力催生策略.就是在課程概述、知識點引入以及例題選擇等方面著手，通過引入數學史、工程實踐性案例、趣味案例以及例題與引題呼應等策略提升課程在學生心中的價值表現和趣味性等，這些策略不僅可以催生學生學習動力，而且常常能使課堂教學的教育功能立體化。

【關鍵字】高等數學；教學設計；動力催生；工程實踐性案例；趣味性案例

中圖分類號： G434；O13-4 文獻標識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）26-0088-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.26.037

The motivational strategies of the teaching-design of advanced mathematics

TENG Yuan-jiang

（Hunan institute of engineering，Hunan Xiangtan 411104，China）

【Abstract】Because of the actuality，that it is lack of learning motives on advanced mathematics，in the process of teaching design in detail， this paper presents dynamic creating strategy.In the course outline，knowledge introduction and sample selection and other aspects， by introducing the history of mathematics，engineering case of practical cases，taste and examples and teasers echo strategies such as increase the value of the course in the student mind and interest， etc.These strategies can not only gave rise to students learning motivation，but also often make the classroom teaching the education function of three-dimensional.

【Key words】Advanced mathematics；Teaching design；power generation；Engineering practical cases；Interesting cases

隨著時代發展，青少年學生心理姿態發生了深刻的變化.相當大比例學生表現出如下特征：一是“變現”心理明顯，要求所學的課程必須有明顯的價值性；而是“逐樂”意識強烈，課程沒有趣味性就難以有學習動力.教師必須客觀對待這種態勢，在教學設計上下功夫，充分顯示高等數學的工程實踐性（價值）和趣味性.顯然這并不是簡單地迎合學生的口味，而是保證教學有效性本應有的設計.

1 教學開篇課程概述環節上發力

之前的教學環節中課程概述一般都有，但過于輕描淡寫，缺乏設計，沒能為后續教學提供充分動力.概述通常是課程教學第一課，開局有力，后續才好使手段；開局平淡，課程教學基調上就黯然了.本文有如下建議：

1.1 概述要有相關數學史介紹

微積分數學史相較于高等數學章節具體內容是輕松有趣的：極限理論之于微積分的可靠性、物理學與幾何學的發展需求決定了微積分誕生的必然性.祖暅、卡瓦列里、柯西、黎曼、牛頓和萊布尼茲等代表人物的探索軌跡等能讓學生明白高等數學課程從哪里來，能干什么，要去哪里.

祖暅原理比卡瓦列里提出的等價命題要早1100多年，這樣的案例能讓學生建立人種自信和民族自豪感. 同時，中國古人已經有了深刻的極限和微積分思想，為什么真正創立立微積分的缺不是中國人能夠引起青年人對民族文化和社會的思考.

1.2 概述要明確介紹高等數學的工程實踐性

馬克思說：“一門學科，只有當它成功地運用數學時，才能達到真正完善的地步.” 微積分在數學中的形象又尤為耀眼. 初等數學認識事物及其規律是靜態的、孤立的，高等數學（微積分）認識事物及其規律則是動態的、辯證的、相關聯的. 時至今日，在大學的所有經濟類、理工類專業中，微積分總是被列為一門重要的基礎理論課.

概述部分不可能具體深入地講實踐應用，但介紹微積分應用領域之廣泛能夠讓學生初步意識到高等數學的價值性.

2 概念和方法的引入介紹要從工程實踐案例中來，再回到工程實踐案例中去

概念和方法是知識體系的核心，如何讓學生欣然接受新的概念和方法是保證教學質量的核心問題.凸顯概念方法跟學生對應專業的緊密聯系在教學實踐中有重要意義，且是催生學生課程學習動力的重要源泉.

2.1 堅持從學生對應專業領域工程實踐中選擇引題案例

概念都是抽象的.如果不明白概念在生活實踐中的來源，學生大多不可能真正明白該概念的含義，進而也就不能真正掌握這個概念.

專業實踐中的案例能引起學生的高度關注，激發學生的探索興趣，對整個課程教學的連貫性起著至關重要的的作用.

專業實踐中的案例進行歸納，找出共性，便使得概念的提出睡到渠成. 學生頓時覺得此概念十分重要，應用價值大.

2.2 章節例題要跟引題案例相呼應

從現有的教材選編例題看，偏純數學的抽象性的普遍，工程應用性的少見.這個情況只適合中學通識訓練，大學完全按照這種教材選例進行教學實踐跟專業距離太大，不利于引起學生的認知共鳴.

2.3 對典型問題處理方法要追求厚重普遍性，不能追求偶然簡便性

例如導數概念要進行專業性引申.具體說，如物理上要強調位移關于時間的導數為速度，速度關于時間的導數為加速度；電位關于空間的梯度是負場強，場強的等勢面（線）即為電位.經濟學中的邊際概念、彈性概念等常常都歸結為導數模型.

再比如，有理函數積分關于復雜分式的拆分，在電路中有普遍的應用.

3 教學設計上要精心選擇一些趣味性案例

趣味性案例有很多，而且趣味性的表象形式也多種多樣. 案例的處理方法新穎獨特是趣味性；案例的結果跟直觀差距大，出乎意料是趣味性；案例的處理過程富有幽默感和感染力是趣味性；案例的表現緊貼熱點資訊或者具有批判性，能引起青年學生對人生的感悟也是趣味性.

趣味性案例的意義不僅僅添加快樂輕松感，而且快樂的背后常常伴隨著科學和人文的啟發，為知識目標、能力目標以及情感和哲學思辨目標的達成貢獻力量.

具體案例展示及效應分析

前者對高等數學教學設計之動力催生給出了一般性的建議，下面給出一些具體案例并進行分析示意：

3.1 數列極限的引入

數列極限先要有“無窮序列”這個概念，然后再定義極限.

莊子切椎：一尺之椎，日取其半，萬世不竭.

莊子的這個論斷既能引出“無窮序列”這個概念，又包含極限思想.兩千多年前的古人能有這種認識，讓人贊嘆！

實際上，這句話映射著一個無窮數列：1，…….其通項為xn=另外，莊子的這個論斷也是極限思想和微積分思想萌芽.雖然，直到牛頓、萊布尼茲時代微積分才正式建立，但人類相關思想的萌芽從兩千多年前就開始了，我們民族的先人也有貢獻！

這種來源于生活的樸素認識能讓學生覺得數列及其極限是是實在在的概念 ，學習起來不覺縹緲，而且有趣.

3.2 偏導數的引入

偏導概念是多元微分學的基本概念.由于變量個數由一到多，空間維數由二維到三維及更高維，相較于導數概念，偏導概念更抽象更難掌握.

蘇軾《題西林壁》 橫看成嶺側成峰……

“橫看成嶺側成峰”是蘇軾狀廬山語句，意思是從不同的角度觀察廬山眾峰，輪廓線有很大的差異.這個說明空間曲面的坡度走勢從不同角度看差異很大！

山體輪廓線實際上是視線法平面在山體表面上的截線，截線坡度走勢實際上是截線切線的斜率問題.更重要的是視線法平面上的點在視線軸上的坐標是恒定的，這正是定義偏導的關鍵：固定另外的自變量，只考慮一各自變量的變化，考察二元（多元）函數關于這個變化的自變量的變化率.

詩詞一般是偏感性的，蘇軾《題西林壁》中流傳更廣的是“不識廬山真面目，只緣身在此山中.”但是“橫看成嶺側成峰”直觀貼切地引出偏導概念，讓人稱奇！通過這種輕松浪漫的引入，學生更有興趣去接受偏導概念，常常難度也不覺那么大了.

另外，感性的東西背后都隱藏這理性，理性的出發點永遠是感性.學生在學習高等數學課程的同時，也可以反過來去體會唯物論、可知論的正確性.

3.3 定積分在幾何中的應用

平面區域若由長度變化的截線段掃出，則其面積等于截線段長度表達式在掃描區間上的積分；空間區域若由面積變化的截面掃出，則其體積等于截面面積表達式在掃描區間上的積分.這兩個規律簡是直觀認識“線動得面；面動得體”的數量規律表現，用定積分元素法很容確認.在介紹這兩個結論之前，可以先介紹下祖暅原理.

祖暅原理：夫冪勢既同，則積不容異.

祖暅原理的意思是，兩個等高的物體，若（同高度）截面面積總相等，則它們的體積必定相等.只要稍稍考慮下我們就會覺得這個論斷是合乎情理的：用薄片層疊處一個立體，若高度確定了，那么立體的體積應該只與每層薄片的面積跟厚度相關，跟薄片的形狀沒有關系.今天，當已知立體掃描截面面積表達式為A（x），跨度區間為x∈[a，b]，則立體體積由VA（x）dx給出. 這個式子說明祖暅原理顯然是正確的. 雖然定積分比祖暅原理更明確，但祖暅提出這個原理是在1500多年前，比西方卡瓦列里類似論斷要早1100多年！從這點看，我們應該在人種上自信，有資格充滿民族自豪感.

祖暅原理在本質上其實已蘊含著定積分！祖暅已經走到了這一步，創立微積分理論的卻不是中國人，是什么原因讓近代中國相比西方在科學上逐漸落后值得我們深思！

先入介紹祖暅原理能讓學生認識到歷史的傳承，發自內心地去崇尚科學. 之后，在講定積分在幾何上的應用就先得銜接很自然. 同時，在獲得科學史知識、情感教育的同時，學生還會去進行人文社會思考. 這種案例使課堂教學產生立體教育功能.

高等數學教學動力源泉是多元的，本文僅僅從教學設計的某幾個方面談動力催生策略，并不排斥其它方面還可以作出各種努力.