跨越直觀操作 凸顯理性思維

曹曉丹

直觀操作活動在小學幾何教學中有著十分重要的地位和作用，所以幾何圖形教學時一般都先安排學生觀察、觸摸、測量、剪拼等探究活動。毋庸置疑，操作、觀察層面的活動為幾何概念的學習積累了鮮活的感性體驗和直觀認識基礎，但是，操作活動也因其處在較低的直觀層面，有著不可避免的局限性。

比如：研究圓的特征時，經常看到老師組織學生用畫、折、量等方式研究圓內半徑、直徑的數量以及之間的關系。筆者在一次聽課中聽到學生在低聲說：“我量到的半徑怎么不一樣長？”我們不禁思考：圓的特征真的是通過畫、量、折得出的嗎？

為了避免直觀操作的局限性，我們是否應該在重視操作體驗、積累感性經驗、得到直觀提示的基礎上，進一步思考、部署如何在此基礎上適時適度地組織學生跨越直觀操作層面，組織學生進行說理、推理、想象等活動，引導學生用數學語言進行適當推理與數學化表達，對研究對象進行更高層次的思考，以培養和發展學生的思維品質。

一、操作之后加強說理，增強數學思考

圓的認識教學時，在我們用折的方式，或者多媒體演示的方式研究得出“同一圓內，有無數條半徑（直徑），所有半徑（直徑）都相等”后，可以追問：根據圓的定義，為什么同一圓內有無數條半徑（直徑），所有半徑（直徑）都相等呢？說說理由。大家知道，在平面幾何中，圓的定義可以是：到一個定點的距離等于定長的點的集合。既然圓周是點的集合，那么圓上就會有無數個點，任意一個點與圓心相連，都是半徑，自然同一圓內有無數條半徑，直徑以及半徑與直徑的長度關系，也可以同樣說明。

解決思考問題時，不能僅憑眼睛看到的，手觸摸到的。在動手操作的基礎上，讓學生“做”后“想”，適時調動學生的語言，激活學生的思維，這樣既提高和發展了學生的空間觀念，又彌補了直觀操作的不足，消除了操作中的誤差帶來的疑慮，增強了學生的數學思考水平。

二、操作之后適當推理，防止思維“同化”

以三角形面積計算公式的推導為例，書上給出的是三種不同類型的三角形（直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形），每種兩個，目的顯然是為了拼成平行四邊形。那么三角形面積的推導是否只能拼成平行四邊形呢？教材在“你知道嗎”中介紹了《九章算術》的“半廣以乘正從”的方法，受此影響學生還能想到其他的一些推導方法，曹培英老師一共總結出學生的6種不同方法。

在這6種方法中學生充分運用了旋轉、平移、對稱等圖形變換知識，如果只是單純展示學生的求異方法，顯然這樣的幾何思維水平處于比較底的層次。操作之后引導學生用數學語言適當說說推理與思考的過程，盡管學生可能不能完全解釋清楚自己的操作推理，也許只是一種直覺思維，但是給學生推理表述的時間和空間，長期訓練之下，一定可以彌補直觀操作的不足，把學生的思維帶向一定的深度。

三、操作之后輔以想象，滲透數學思想

如教學圓的面積時，學生思考怎樣推導圓面積的計算公式。有學生提出：我想要把圓轉化為學過的圖形，但圓的邊是曲線，怎么拼成直直的邊呢？“化曲為直”的思想方法呼之欲出。接著學生利用圓形紙片有的折、有的剪拼，努力向“直邊”靠近。

經過一番觀察、動手操作之后發現把圓8等分之后，拼成的圖形比較接近平行四邊形。如果繼續等分會怎么樣呢？學生猜測：應該更像平行四邊形。此時繼續操作比較麻煩，可以用多媒體演示，運用電腦軟件我們甚至可以將圓平均分成一千多份，拼成的圖形的確幾乎就是一個長方形了，但這樣的直觀演示是否具有思維的價值呢？

不妨換個角度，當學生初步感知分的份數越多，拼成的圖形將越來越接近長方形時，閉上眼睛想象上下兩條邊的變換，當分的份數越來越多的時候，這條邊將越來越直。這不就是一開始困擾學生的怎樣“化曲為直”嗎？“化曲為直”的轉化思想，無限接近的極限思想，如春雨潤土般，悄悄潛入學生的思維。如果將數學思想方法的滲透比作一滴墨水滴在不同的紙上，有的學生會化開很多，有的學生會化開很少，但對于小學生來說，只有經常刺激、不斷積累，才能逐漸將思想內化。

誠然，直觀操作在學生的幾何圖形學習中扮演著重要的角色，但是數學是思維的體操，數學研究不能只停留在用眼觀察、動手操作這些“實”的方面，教師還要重視“虛”這一方面，要帶領學生在充分觀察、操作的基礎上去想象、去推理、去表達，跨越直觀操作，激活學生的理性思維，提升思維品質。

作者單位江蘇省海門市通源小學endprint