頻率—波數域濾波在淺層地震勘探中的應用

劉偉祖　錢芬芳

摘 要：對于時空域的地震記錄，經過二維傅里葉變換到頻率-波數域，不同視速度不同頻率的波映射為頻-波圖中過原點的不同斜率的射線上的點。通過識別干擾波的視速度和頻率范圍，我們就可以設計頻率-波數域濾波因子對干擾波進行消除或壓制。本文采用FFTW離散傅里葉變換計算庫實現二維傅里葉變換，實現了頻率-波數域濾波。采用野外淺層地震單炮數據作了消除干擾的試驗，得到了預期的效果。

關鍵詞：頻率-波數域濾波；FFTW；淺層地震勘探

中圖分類號：P631.443 文獻標識碼：A 文章編號：1671-2064（2018）23-0182-02

淺層地震勘探的環境一般較為復雜，容易受到人類活動、工業生產、車輛等機械振動形成的干擾[1]。這些干擾噪聲可能來自不同的方向，不同的時間。通過識別有效波與干擾波之間的視速度和頻率差異，就可以對地震數據中的這些噪聲進行壓制或消除。本文，我們對頻率-波數域濾波（F-K濾波）的原理進行簡單的介紹，然后通過野外淺層地震數據對該濾波器的應用效果進行試驗分析。

1 F-K濾波基本原理

假設有地震記錄，只對空間x做傅里葉變換到波數k域，得到時間-波數域波場，然后對時間t做傅里葉變換到頻率f域，得到頻率-波數域波場，即可實現二維傅里葉變換。通常把在（f，k）平面上的投影圖稱為頻-波圖（圖1a所示），其中頻率與波數之比為視速度。

對于頻-波圖有以下結論：

視速度為某一定值時的任何平面簡諧波在頻波圖中都映射為過原點的同一條射線，頻波圖上直線的斜率就是直線上各點對應的平面波所具有的視速度。由，其中為相鄰檢波點的距離，為波到達相鄰檢波點的時差，可知在時間剖面上同相軸斜率。即在時間剖面上同相軸傾斜越厲害，則降低；同相軸較平緩，則較大；反映在頻-波圖上則為對應的角較大，越小，而角越小，則越大[2]。如圖1a，二維頻率-波數域濾波（F-K濾波）就是保留給定門[f1，f2]，與速度門[v1，v2]共同區域D的波頻譜，而把D外的區域全部充零。F-K濾波可表示為：

（1）

其中為頻-波譜，為頻-波域濾波響應，為濾波后的結果。

的設計需要注意兩點：一是濾波區域的選擇；二是避免因截斷效應產生的Gibbs效應。對于給定的M道地震數字記錄，其中，，它是以為周期的雙周期函數，故時間域基頻，空間域基頻。在波頻譜中，是Z矩陣的一個對稱點，以點為中心的兩個對稱點上波頻譜與為共軛復數，如圖1b中，區域1和區域3對稱，區域2和區域4對稱[3]。

在二維的地震記錄中，隨著x增加，波組t0值增大的波組，稱為正視速度波組。而隨著x的增加，波組t0值減小的波組稱為負視速度波組。根據對稱性，正視速度波組在F-K譜中，能量主要集中在第二、四象限，負視速度波組能量集中在第一、三象限。根據周期性可知，在圖1b中，正視速度波組對應2、4區域（灰色區），負視速度波組對應1、3區域（黑色區）。趙訪熊、李慶揚證明，若保留圖1b中2、4區，則保留正視速度波組；若保留圖1b中1、3區，則保留負視速度波組；若全部保留，則會產生炕席現象[4]。

為了避免因為截斷效應而產生Gibbs效應，我們需要給濾波器鑲邊，我們采用的鑲邊函數公式為：

（2）

其中，L為鑲邊長度，可以根據具體情況給定。

2 計算機實現

我們采用FFTW離散傅里葉變換計算庫實現二維傅里葉變換，該庫計算效率高、速度快，可以計算任意長度數據的一維、二維及更多維的傅里葉變換。FFTW由麻省理工學院計算機科學實驗室超級計算技術組開發的一套離散傅立葉變換（DFT）的計算庫，開源、高效和標準C語言編寫的代碼使其得到了非常廣泛的應用[5]。

有了二維傅里葉變換，我們就可以實現速度濾波。首先應用二維傅里葉變換，將x-t域地震記錄變換到f-k域；然后乘以f-k域濾波因子H（f，k）；最后，通過二維逆傅里葉變換將數據變換到時空域。濾波器的設計需要給定頻率區間[f1，f2]與速度區間[v1，v2]。為了避免Gibbs效應，我們需要給濾波器鑲邊。

3 實際數據試驗分析

我們選取了某地區一條測線的淺層地震數據來驗證F-K濾波的效果。該測線總共31炮，單邊放炮，0.125ms采樣，每炮有12道接收，5m道間距。圖2a所示中的數據是該測線的第24炮的炮集數據，我們對該數據做了一維帶通濾波和面波切除處理，目的消除面波并壓制低頻和高頻的干擾。

圖2a單炮數據的采集震源點位于第1道的左端，偏移距為20m。因此，其有效波波組隨道號的增加，其旅行時（t/s）應逐漸增大。即圖2a中正向的波組為有效波，反向的波組為噪音。該噪音可能來自于接收道末端方向的工業生產、車輛等機械振動形成的干擾。我們通過設置濾波門[30Hz，75Hz]、[400m/s，4000m/s]，且只保留正視速度波組（圖1b中2、4區域），用F-K濾波對反向波組的噪音進行壓制。我們濾波后的結果如圖2b所示，其中負向波組的噪音已經完全被壓制，說明了F-K濾波對這種噪音壓制的有效性。

4 結語

通過F-K濾波原理的敘述和實際數據的分析，說明了F-K濾波可以很好地壓制與有效波視速度有差異的干擾。F-K濾波作為二維濾波，其可以結合地震數據的頻率和視速度，對有效波頻率和視速度之外的干擾進行壓制，從而提高地震數據的信噪比和分辨率。需要注意的是，F-K濾波參數選擇不當可能會出現虛假的同相軸，所以對于濾波參數的設置需要根據具體情況進行對比分析。

參考文獻

[1]劉保金，張先康，方盛明，等.城市活斷層探測的高分辨率淺層地震數據采集技術[J].地震地質，2002，（4）：524-532.

[2]張白林，潘樹林，尹成.地震資料數字處理方法.第2版[M].石油工業出版社，2011.

[3]清華大學計算數學專業油田科研組，等.傅里葉變換濾波在地震勘探數字處理中的應用[J].石油地球物理勘探，1978，（5）：1-15.

[4]何潮觀.F-K數字濾波器的設計和應用[J].石油地球物理勘探，1985，（5）：474-489.

[5]Frigo M， Johnson S G. The Design and Implementation of FFTW3[J]. Proceedings of the IEEE， 2005， 93（2）：216-231.