讓數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗落地生根

沈文漢 李賓

摘要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將基本活動經(jīng)驗確定為重要的數(shù)學(xué)課程目標(biāo)，成為“四基”之一，要讓數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗落地生根，不僅要明確什么是數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，更要精心耕耘學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的土壤，探索積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的途徑和方法，通過落實過程性目標(biāo)、轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式、豐富活動內(nèi)涵、強化數(shù)學(xué)應(yīng)用等措施積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗；過程性目標(biāo)；數(shù)學(xué)應(yīng)用；初中數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2018）11A-0062-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》課程目標(biāo)中明確提出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗[1]。由于數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗具有“內(nèi)隱性”的特征，所以它不像其他“三基”那樣“道得清、說得明”，它是看不見、摸不著的，有時很難用直觀語言表達(dá)，有時用傳統(tǒng)的評價方式無法考察、無法測量。如果我們不能從義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的培養(yǎng)目標(biāo)出發(fā)，不能從學(xué)生的全面發(fā)展和終身發(fā)展出發(fā)，對“四基”各自的教育功能和教育價值沒有充分的認(rèn)識，那么“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”就會成為一個“軟”目標(biāo)，在實際教學(xué)中難以落實，最終不會落地生根。

一、數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗雖然是在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確了“四基”地位，但并不是這幾年才提出的一個概念，在《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》課程總目標(biāo)中已經(jīng)提出了通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要數(shù)學(xué)知識（包括數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗）以及基本的數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能[2]。只不過當(dāng)時是將數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗歸為數(shù)學(xué)知識的范疇。盡管這個概念提出的時間比較早，但關(guān)注的人不多，研究的人不多。由于大家對數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的概念還比較模糊，理解還不到位，不少教師只是把它當(dāng)成“數(shù)學(xué)活動”和“經(jīng)驗”的復(fù)合詞，簡單地理解為“學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗”，導(dǎo)致教師在平時的教學(xué)中落實不到位。那么什么是“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗”？目前還沒有統(tǒng)一的說法，史寧中教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是學(xué)習(xí)主體通過親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程所獲得的具有個性特征的經(jīng)驗”[3]。張奠宙教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是在數(shù)學(xué)目標(biāo)指引下，通過對具體事物進(jìn)行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認(rèn)識”[4]。重慶師大仲秀英教授認(rèn)為“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程中獲得的對數(shù)學(xué)事實的理解，及在參與數(shù)學(xué)活動中形成的觀念、情感等內(nèi)容構(gòu)成的組合性經(jīng)驗”[5]。盡管對數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的界定眾說紛紜，但有些觀念是接近的或相同的，大家一致認(rèn)為，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是“數(shù)學(xué)的”，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中所從事的具有明確目標(biāo)的數(shù)學(xué)活動；數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是“經(jīng)驗的”，一是獲得經(jīng)驗的事物，二是獲得經(jīng)驗的過程；數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是“活動的”，這里的“活動”不僅僅是具體操作活動，還包含思維活動和探究活動。我們可以將數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗從形式、內(nèi)涵和類型方面進(jìn)行如圖1的概括：

二、積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗途徑和方法

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累不是一朝一夕就能夠完成的，需要一個長期的過程。它不是通過幾節(jié)課或一段時間強化訓(xùn)練完成的，需要在平時教與學(xué)的全過程中、在每一節(jié)課的活動中、在活動的每一個環(huán)節(jié)中逐步孕育，逐步發(fā)展，逐步積累，逐步提升。它不是在某一種單一的活動中迅捷完成的，需要在操作活動中、在思維活動中、在探究活動中、在綜合應(yīng)用中通過不斷積累來完成。

（一）落實過程性目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將數(shù)學(xué)課程目標(biāo)分為兩類：一類是結(jié)果性目標(biāo)，另一類是過程性目標(biāo)。結(jié)果性目標(biāo)一般指向基礎(chǔ)知識與基本技能，而過程性目標(biāo)更多是指向數(shù)學(xué)基本思想和基本活動經(jīng)驗。所以我們平時的教學(xué)活動要更加關(guān)注“過程”，把數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗積累和過程性目標(biāo)建立聯(lián)系，要從數(shù)學(xué)目標(biāo)出發(fā)，從學(xué)生的已有經(jīng)驗出發(fā)，組織開展有效的數(shù)學(xué)活動，使學(xué)生經(jīng)歷操作實驗、觀察發(fā)現(xiàn)、猜想驗證、歸納證明、應(yīng)用創(chuàng)新等過程。比如，在學(xué)習(xí)“確定圓的條件”這部分內(nèi)容時，如果我們只是從知識和技能的層面去考慮，那只要讓學(xué)生知道“不在同一直線上的三點確定一個圓”這個結(jié)論，并會畫圖就行了。平時不少教師也只是做到了這一點。為了全面落實“四基”，落實過程性目標(biāo)，我們可以安排數(shù)學(xué)實驗“最小覆蓋圓”，目的是讓學(xué)生經(jīng)歷利用圓形紙片覆蓋線段、三角形、四邊形的過程，理解基本圖形的“覆蓋圓”和“最小覆蓋圓”的概念，探索基本圖形的最小覆蓋圓，進(jìn)一步掌握確定圓的條件，并獲得和數(shù)學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

（二）轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式

數(shù)學(xué)課程目標(biāo)由“雙基”變?yōu)椤八幕保八幕钡穆鋵嶊P(guān)鍵在課堂，為此我們要轉(zhuǎn)變教與學(xué)的方式。在學(xué)生掌握知識和運用知識的同時，教師要讓學(xué)生更多地經(jīng)歷知識產(chǎn)生的過程，更多地關(guān)注探究的過程、思考的過程、抽象的過程、預(yù)測的過程、推理的過程、反思的過程，讓學(xué)生親自參與、主動實踐、深入探究，引導(dǎo)學(xué)生自己去收集資料，自己去設(shè)計方案，自己去發(fā)現(xiàn)問題，并綜合運用所學(xué)知識、方法和策略解決實際問題，積累豐富的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。

（三）豐富活動內(nèi)涵

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的很多經(jīng)驗是不可傳遞的，只能靠親身經(jīng)歷來積累。我們在平時教學(xué)中，必須讓學(xué)生積極參與活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷多樣化的數(shù)學(xué)活動過程，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。

1.豐富操作活動。學(xué)生在實際的、外顯操作活動中獲得的直接感受和體驗就是操作活動經(jīng)驗。要獲得操作活動經(jīng)驗，首先要有操作活動。操作活動包括幾何操作、數(shù)學(xué)表征工具的直接操作、數(shù)學(xué)公式和符號的直接操作。我們常用的剪、拼、折、平移、旋轉(zhuǎn)等操作活動就是幾何操作活動，使用示意圖、統(tǒng)計圖表、程序語言等表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容的操作活動就是數(shù)學(xué)表征工具的直接操作，使用計算器、計算機等簡單的數(shù)學(xué)工具進(jìn)行的操作活動就是數(shù)學(xué)公式和符號的直接操作。盡管數(shù)學(xué)操作活動在一般情況下不能直接解決問題，但它可以幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)知識的理解，促進(jìn)思維的發(fā)展，同時為探究問題奠定基礎(chǔ)。比如在探究角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的軸對稱性、等腰三角形“三線合一”等問題時，我們常常會讓學(xué)生經(jīng)歷折紙等操作活動，探索相關(guān)性質(zhì)，加深對知識的理解。

2.豐富思維活動。學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程是從感性認(rèn)識逐步向理性思維發(fā)展的過程，學(xué)生在理性思維過程中形成的經(jīng)驗就是思維活動經(jīng)驗。思維活動經(jīng)驗包括歸納的經(jīng)驗，數(shù)據(jù)分析、統(tǒng)計推斷的經(jīng)驗，幾何推理的經(jīng)驗等。我們在平時的教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象概括的過程，在學(xué)生充分感知的基礎(chǔ)上，適時地引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、思考，使他們學(xué)會從一些現(xiàn)象和事實中舍去個別的、非本質(zhì)的屬性，通過抽象概括形成一般化的認(rèn)識，加深對事物本質(zhì)的把握，從而形成概念，得出規(guī)律，獲得感性經(jīng)驗背后理性的、抽象的思維活動經(jīng)驗。

案例1：把一張足夠長的紙條按同一方向?qū)φ郏鐖D2所示：

觀察：經(jīng)過第1次對折后，折痕數(shù)與紙條的層數(shù)各是多少？

經(jīng)過第2次對折后，折痕數(shù)與紙條的層數(shù)各是多少？

經(jīng)過第3次對折后，折痕數(shù)與紙條的層數(shù)各是多少？

發(fā)現(xiàn)：每次對折后，折痕數(shù)與紙條的層數(shù)之間有什么關(guān)系？

猜想（驗證）：經(jīng)過第4次對折后，折痕數(shù)與紙條的層數(shù)各是多少？

歸納：經(jīng)過第n次對折后，折痕數(shù)與紙條的層數(shù)各是多少？

（通過觀察圖形和思維活動，從數(shù)和形兩個角度刻畫同一問題）

證明：提升策略性、方法性經(jīng)驗，從而得到數(shù)學(xué)等式：1+2+22+…+2n-1=2n-1 。

應(yīng)用（創(chuàng)新）：遷移到“拉面”等其他活動中去鞏固，并進(jìn)一步發(fā)展獲取的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

3.豐富探究活動。數(shù)學(xué)活動不僅僅是直觀、形象的“手指運動”，還應(yīng)該有生動的思維活動，需要學(xué)生經(jīng)歷具體問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)問題具體化的過程，使得行為操作和思維操作相互作用、深度融合，形成探究活動經(jīng)驗。

案例2：“最小覆蓋圓”教學(xué)片段

第一步，先設(shè)計“覆蓋兩點，直觀感受”的環(huán)節(jié)，目的是幫助學(xué)生把握線段最小覆蓋圓的特征。

第二步，設(shè)計“覆蓋三點，驗證歸納”的環(huán)節(jié)，目的是讓學(xué)生經(jīng)歷歸納活動，獲得三角形的“最小覆蓋圓”應(yīng)優(yōu)先考慮以最長邊為直徑的圓，再考慮三角形的外接圓的經(jīng)驗。

第三步，設(shè)計“覆蓋四點，理性分析”的環(huán)節(jié)，先從正方形、菱形等特殊四邊形開始，再到一般四邊形，滲透轉(zhuǎn)化思想、分類思想，同時也為進(jìn)一步完善基本圖形的最小覆蓋圓尋找策略，積累具體問題抽象化、形式化的思維活動經(jīng)驗。

在上述活動過程中，學(xué)生不僅經(jīng)歷了外顯的操作活動（畫、量），還經(jīng)歷了數(shù)學(xué)思考。

（四）強化數(shù)學(xué)應(yīng)用，積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗

數(shù)學(xué)應(yīng)用是學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識、思想方法進(jìn)行問題解決的過程，它是學(xué)生在發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程中獲得的經(jīng)驗，應(yīng)用意識的生成便是知識經(jīng)驗形成的標(biāo)志。

在學(xué)生學(xué)習(xí)了蘇科版數(shù)學(xué)九年級下冊“利用相似三角形解決問題”和“利用銳角三角函數(shù)解決問題”后，我們可以安排蘇科版數(shù)學(xué)實驗手冊中“測量旗桿的高度”這一數(shù)學(xué)實驗。

案例3：“測量旗桿的高度”教學(xué)片段[6]

首先，通過觀察、估計、求平均值等過程，估計旗桿的高度；其次，利用影長、標(biāo)桿和測角儀等方法，用所學(xué)過的相似三角形、銳角三角函數(shù)等知識，求出旗桿的高度，這三種方案都需要在感性操作的基礎(chǔ)上回歸理性的計算，將動手測量與動腦思考相結(jié)合；最后，通過比較各種方案的優(yōu)點和不足，優(yōu)選測量工具，改進(jìn)測量方案，使得測量更精確。

安排這樣的實驗課可以幫助學(xué)生深化對知識的理解，給學(xué)生提供一個對所學(xué)知識進(jìn)行梳理、整合、內(nèi)化的活動載體，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)建模的過程，發(fā)展學(xué)生自主探索問題的意識和能力，積累學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、方法和策略對實際問題進(jìn)行探索、思考、總結(jié)、推廣等方面的綜合應(yīng)用經(jīng)驗。

數(shù)學(xué)教學(xué)講究以學(xué)生為主體的“順?biāo)浦邸保@里的“水”是指學(xué)生已經(jīng)具備的“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”；數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也很講究“水到渠成”，而這里的“水”指的也是指“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”。學(xué)生積累一定的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，有利于理解知識的來龍去脈，有利于掌握數(shù)學(xué)思維方法，有利于體驗并領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想的無窮魅力，從而形成比較完整的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有效提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對后續(xù)學(xué)習(xí)和發(fā)展產(chǎn)生積極影響。為此，我們要精心耕耘學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的土壤，讓數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗落地生根。

參考文獻(xiàn)：

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：8.

[2]全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001：6.

[3]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：120.

[4]張奠宙，竺仕芬，林永偉.基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗的界定與分類[J].數(shù)學(xué)通報，2008（5）：4-7.

[5]仲秀英.學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的內(nèi)涵探究[J].課程·教材·教法，2010（10）：52-56.

[6]董林偉.數(shù)學(xué)實驗手冊（九年級全一冊）[M].南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2015：41.

責(zé)任編輯：石萍