巧借他山之石培養初中生數學核心素養

石瑛瑩

摘要：在教學中如何培養發展學生的數學核心素養是對一線教師提出的新要求，本文通過拓展課程的兩個不同設計--知識拓展課程設計和技能拓展課程設計的對比詳細介紹了如何做到拓展課程教學形式的多元化、內容設計的合理性及課堂的高效性，對通過拓展課程發展學生數學核心素養的有效性做了深入的研究。

關鍵詞：拓展課程；知識拓展；技能拓展；發展數學核心素養

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2017）12-0129-03

1.背景介紹

筆者所在學校是區教育局直屬公辦初中，現有班級45個，在校學生2500余人。"讓每個學生有夢想有希望"是我校的辦學理念，作為公辦初中辦學行為必須規范，在私立學校狠抓成績的對比下，公辦學校既要出成績又要兼顧學生的特長發展，讓每個學生有夢想有希望，對學校管理者和一線教師就提出了挑戰。為了貫徹黨的教育方針，落地立德樹人，更好地幫助每一位初中生實現全面且有個性的發展，根據《教育部關于全面深化課程改革 落實立德樹人根本任務的意見》和《浙江省深化義務教育課程改革指導意見》等相關文件精神，校領導帶領一線教師著力進行深化課程改革的探索與實踐。

從培養學生核心素養出發，對基礎性課程進行銜接、整合和拓展，架構起我校課程的6大領域、11門基礎學科、11大MX拓展課程群。

"MX拓展課程"之名取自"讓每個學生有夢想有希望"中的"夢想"與"希望"的第一個字的大寫字母"M"和"X"。"M"代表興趣特長和社會實踐拓展課，"X"代表知識拓展課。

作為數學老師，面對的課題是開發X拓展課程中的數學與思維拓展課，經過反復思考論證后按學生的學情開展了數學知識拓展與數學技能拓展兩部分拓展課。分階段實施，每周2節課，時間安排在周五下午第五節和第六節課，由學生自主報名選擇參加知識拓展課或技能拓展課，教師審核，學生自主選擇適合自己課程的前提是教師在學生的自我評價的銀行里存儲了足夠的資本，為學生能夠正確的選擇適合自己的拓展課做好了準備，以增加教師審核的通過率。實行年級組內走班。老師根據數學學科本質，結合學生已有經驗、發掘教學資源依托備課組的集體合作對教材進行二次開發，進行學科知識拓展與學科技能拓展以期望對學生的數學素養有較大提升。

2.《乘法公式》的知識拓展課與技能拓展課教學研究對比

2.1對于知識拓展課的教學研究。教學內容分析：本文是依據浙教版《數學》七年級下冊3.4乘法公式第1課時"平方差公式"設計的拓展課程，本節課是在學習教材乘法公式第1節新課后設計的拓展課程，探索平方差公式的八種變化形式。在教學中引導學生仔細觀察、總結歸納規律，發展學生的數學核心素養。

學生認知基礎：本節拓展課的學習主體是選報知識拓展課程的同學，學生在學習過平方差公式的基礎上已經掌握了基本的使用平方差公式進行計算和應用公式的能力，為本節探索公式的變化做好準備。

教學目標：（1）在學生進行知識拓展的同時培養數學核心素養。（2）發展數學建模意識。（3）發展觀察的細致性，歸納的條理性。（4）培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

教學重點：平方差公式的八種變化形式。

教學難點：增因式變化及增項變化。

教學過程：

（一）復習引入新課

請同學們寫出平方差公式：___________。

（二）知識拓展：

（1）請同學們計算下列題組。

①（b+a）（-b+a）②（-a-b）（a-b）

③（2a+3b）（2a-3b）④（a2+b2）（a2-b2）

⑤（a+b）（a-b）（-a-b）（-a+b）

⑥（a-b-c）（a-b+c）⑦（a-b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）

⑧a2-b2

學生練習后到黑板板演。教師帶領學生校對批改后，請學生總結歸納規律。

平方差公式的8種變化形式

①位置變化：（b+a）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2

②符號變化：（-a-b）（a-b）=？（a+b）（a-b）=-（a2-b2）

③系數變化：（2a+3b）（2a-3b）=（2a）2-（3b）2=4a2-9b2

④指數變化：（a2+b2）（a2-b2）=（a2）2-（b2）2

⑤增因式變化：（a+b）（a-b）（-a-b）（-a+b）=（a2-b2）[（-a）2-b2 ]

⑥增項變化：（a-b-c）（a-b+c）= （a-b）2-c2

⑦連用公式變化：（a-b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）=a8-b8

⑧逆用公式變化：a2-b2=（a+b）（a-b）

（三）拓展習題

（1）下列運用平方差公式計算，錯誤的是（ ）。

A.（b+a）（a﹣b）=a2﹣b2

B.（m2+n2）（m2﹣n2）=m4﹣n4

C.（2x+1）（2x﹣1）=2x2﹣1

D.（2﹣3x）（﹣3x﹣2）=9x2﹣4

（2）下列各式中，運算結果是9m2﹣16n2的是（ ）。

A.（3m+2n）（3m﹣8n）

B.（﹣4n+3m）（﹣4n﹣3m）

C.（﹣3m+4n）（﹣3m﹣4n）

D.（4n+3m）（4n﹣3m）

（3）（﹣3x2+2y2）（_______）=9x4﹣4y4.

（4）定義運算a？b=a2﹣b2，下面給出了關于這種運算的四個結論：endprint

①2？（﹣2）=0；②a？b=b？a；③若a？b=0，則a=b；④（a+b）？（a﹣b）=4ab，

其中正確結論的序號是_____（填上你認為所有正確結論的序號）。

（5）（x+2）（x﹣2）（x2+4）的計算結果是（ ）。

A.x4+16 B.﹣x4﹣16 C.x4﹣16 D.16﹣x4

6.王紅同學在計算（2+1）（22+1）（24+1）時，將積式乘以（2﹣1）得：

解：原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）

=（22﹣1）（22+1）（24+1）

=（24﹣1）（24+1）

=28﹣1

根據上題求：①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1的個位數字。

② （3+1）（32+1）（34+1）（38+1）…（332+1）的值。

有效教學意圖：作為知識拓展課，重點知識回顧和基本技能的強化成為必不可少的環節，是防止學生知識遺忘和內化知識逐步系統化的過程，但學生對于某些公式、定理的記憶經常是機械的、枯燥的，在回顧公式的過程中，如果只是單純的采取展示概念或一味地練習題目都會使學生產生心理疲勞，繼而產生厭倦感，體會不到學習和探索知識的樂趣，不利于培養學生的數學核心素養。課堂教學設計時采用將知識點"小題化"的教學策略，利用變式題組對拓展知識加以探索、鞏固和歸納。題組的設計認知源于教學起點的選擇是先從學生的熟悉的平方差公式出發，再到由課本習題改編加深的拓展題，符合學生學習知識的最近發展區，更能夠充分調動學生學習與探索的主動性，在學生的活動過程中發展數學核心素養。

2.2對于技能拓展課的教學研究。教學內容分析：本節課是在學習浙教版《數學》七年級下冊3.4乘法公式第2課時"完全平方公式"后設計的技能拓展課程，探索對完全平方公式的變形所得到的二階衍生等式。在教學中引導學生主動參與數學活動，通過本節內容對完全平方公式有新的更全面的認識并構建數學模型以發展學生的數學核心素養。

學生認知基礎：本節拓展課的學習主體是選報技能拓展課程的同學，學生在學習過平方差公式、完全平方公式的基礎上已經掌握了使用公式進行計算和應用公式的能力，為本節探索公式的二階衍生等式做好準備。

教學目標：（1）在學生深入探索數學問題的技能拓展課程中培養發展數學核心素養。（2）構建數學建模意識。（3）提高化繁為簡的能力，發展思考的條理性。（4）解決復雜計算問題時，經歷猜測、探索、計算、驗證等主動數學活動過程，培養學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

教學重點：二階衍生等式的探索。

教學難點：二階衍生等式所對應的練習題。

教學過程：

（一）復習引入新課

兩數和的完全平方公_______，即兩數和的平方于_______。

兩數差的完全平方公_______，即兩數差的平方于_______。

（二）技能拓展：

（1）請同學們把兩個公式豎著對齊寫，并在公式后面標好①②，按如下三個指令探索。

（a+b）2=a2+2ab+b2①

（a-b）2=a2-2ab+b2②

指令1：①②兩式分別移項可得哪些式子；指令2：①-②可得什么式子；

指令3：①+②可得什么式子。

學生活動后得到如下結果：

①②兩式分別移項可得a2+b2=（a+b）2-2ab；a2+b2=（a-b）2+2ab

①-②可得（a+b）2=（a-b）2+4ab；

①+②可得（a-b）2=（a+b）2-4ab

學生小結：由（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2變形可得a+b，a-b，ab，a2+b2四者之間的相互關系。

（2）教師出示完全平方公式的一些其他常用的等式關系。請學生以學習小組為單位每組選擇兩個等式進行證明，并板演。

①（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）

②（a+b）2-（a-b）2=4ab

③ab=（a+b2）2-（a-b2）2

④a2+1a2=（a+1a2）2-2

⑤a2+b2+c2+ab+bc+ac=12[（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2]

⑥a2+b2+c2-ab-bc-ac=1a2[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]

3.拓展習題

（1）已知a+b=4，a﹣b=3，則求a2-b2。

（2）若a﹣b=1，則求代數式a2﹣b2﹣2b的值。

（3）若a+b=5，ab=2，則求a2+b2的值。

（4）若a+b=3，a﹣b=7，求ab。

（5）若a-b=5，ab=2，則分別求（a-b）2，（a+b）2，a+b， a2+b2，a2﹣b2的值。

（6）己知實數a、b滿足a+b=5，ab=3，則求a﹣b。

（7）若a+1a=4，分別求a2+1a的值和a-1a的值。

有效教學意圖：作為技能拓展課，在使用公式的過程中應該充分體公式應用的靈活性，根據學生對公式的掌握情況，以及具體的熟練程度在課堂中及時微調內容安排。在引導學生對公式總體把握與應用的同時，還要注重帶領學生把公式各種變形的來源和相互之間的聯系通過探索和體會等課堂活動生成自己的數學技能，比如探索求解過程中書寫的嚴密性、規范性，條件使用的完整性都必須落實到位，通過有效的數學活動發展學生的數學核心素養。

4.收獲與反思

以上僅是我們開展數學拓展課程中的一例。通過一學年數學拓展課程的開發和教學，有效彌補了學生學業水平參差不齊導致的課堂效率不高、抽測成績不理想的情況。學生學習數學的興趣和積極性都很活躍，對于不同程度學生都有個性化發展目標和課程內容，帶領學生在參與數學拓展課程活動的過程中培養和發展了學生數學核心素養。

綜上，不論是知識拓展課還是技能拓展課，作為教師在拓展課程的設計中，要學會給學生幾個問題，讓他們自己去探索、解決；給學生幾個條件，讓他們自己去思考、添加；給學生一個舞臺，讓他們去展示自己最美的舞姿。教師要甘做幕后導演，設計有效的拓展課程，成為學生起航數學核心素養之路的護航者。

參考文獻：

[1]唐建強，趙惠娟.讓每個學生有夢想有希望--初中深化課程改革探索與實踐[J].余杭教育，2017（6）：5.

[2]李明方，王修燕.平行四邊形復習課[J].中小學數學，2016年3月（中旬）：23.

[3]王絢主編.初中新學案優化與提高[Z].天津：天津科學技術出版社，2017：57.endprint