探索關系 相互轉換

仇招成

在豐富的圖形世界里，“點”的靈動輕盈成就柔和的曲線之美，“線”的柔美形態造就“面”的恢弘大氣，點、線、面的完美集成構就“體”的不同性格：可以剛硬、可以柔美、可以開放、可以封閉……在此，讓我們一起來回顧三視圖的解題要點.

例1 （2017·揚州）經過圓錐頂點的截面的形狀可能是（ ）.

例2 （2004·宿遷）圖1是一塊帶有圓形空洞和方形空洞的木板，則下列物體中既可以堵住圓形空洞，又可以堵住方形空洞的是（ ）.

【解析】因圓錐頂點到底面圓周上任一點的連線段（母線）相等，故例1中B正確.

根據三視圖知識，圓柱的主視圖（左視圖）是矩形，可以堵住方形空洞，圓柱的俯視圖是圓，可以堵住圓形空洞，故例2中B正確.

【說明】三視圖就是主視圖、左視圖、俯視圖的總稱.一個視圖只能反映物體的一個方位的形狀，不能完整反映物體的結構形狀.

一個平面與一個幾何體相交所截得的圖形叫做截面.截面的形狀隨截法的不同而改變，一般的截面與幾何體的幾個面相交就得到幾條交線，截面就是幾邊形.

三視圖和截面在方法、角度上是不同的.我們需要根據具體要求來確定平面圖形的“形狀”.

（1）寫出這個幾何體的名稱；

（2）任意畫出這個幾何體的一種表面展開圖；

（3）若俯視圖中正三角形的邊長為4cm，左視圖中長方形的高為10cm，求這個幾何體的側面積.

【解析】（1）只有棱柱的主視圖和左視圖才能出現長方形，根據俯視圖是三角形，可得到此幾何體為三棱柱；

（2）應該會出現3個長方形，2個三角形；（圖略）

（3）側面積為3個長方形，計算出一個長方形的面積，乘3即可（3×10×4=120cm2）.

【說明】以“簡單幾何體的三個視圖”為中心，我們通過想象、模擬、分析、推理，感受三視圖與簡單幾何體之間的相互轉化，體驗二維與三維空間相互轉換關系.我們除了要關注“形狀”“位置”（方位）外，還需關注“數量”關系，即主視圖和俯視圖的長相等；主視圖和左視圖的高相等；左視圖和俯視圖的寬相等.

例4 把邊長為2cm的6個相同正方體擺成如圖3的形狀.

（1）畫出該幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖；

（2）試求出其表面積；

（3）如果在這個幾何體上再添加一些相同的小正方體，并保持這個幾何體的左視圖和俯視圖不變，那么最多可以再添加__________個小正方體.

【解析】（1）

（2）計算出三視圖（平面圖形）的面積和，然后乘2，再加2個正方形的面積（從三個方向都看不見的部分）即可：2×[2×2×（4+3+5）]+2×2×2=104cm2.

（3）利用左視圖和俯視圖不變，得出可以添加小正方體的位置.故最多可以再添加2個小正方體.

【說明】幾何體的三視圖從微觀和局部反映了幾何體的結構和大小，對于簡單的幾何體或組合體的表（側）面積，可利用三視圖中隱含的幾何條件，直接計算幾何體表面的所有平面圖形的面積和即可（注意：避免重復計算和漏算）.

一般來說，已知三視圖可以確定一個幾何體，但已知兩個視圖不一定能確定幾何體.在三個視圖中，俯視圖最重要，它可以直接確定底層有幾個正方體，再由主視圖、左視圖確定幾層數及每層的個數.具體方法如下：

（1）由俯視圖、左視圖（主視圖）來確定小正方體個數：

以例4第（3）問為例：①先復制一張俯視圖，俯視圖的左方（下方）標注左視圖（主視圖）所看到的小正方體的最高層數；將這些數字填入所在行（列）的每一個方格，則可得到這個幾何體所需最多的小正方體的塊數；②將每行（列）上數字只留一個，其余的均改為1，這樣就可以確定最少需要的小正方體的塊數.

（2）由主視圖、左視圖來確定小正方體個數：

還是以例4的主視圖、左視圖為例：

①先根據主視圖和左視圖確定俯視圖最大是2×3的方格；

在方格下方、左方分別標上主視圖、左視圖所看到的小正方體的最高層數.然后，在方格中填入所在行、列上的較小數字，那么就可以確定這個幾何體所需最多小正方體的塊數（如圖2所示）.

②在方格中尋找所在行和列方向上的數字一樣的方格，取相同的數字填入方格，這樣就可以確定最少需要的小正方體的塊數（如圖3所示）.

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學初中部）endprint