明晰數(shù)學(xué)知識(shí) 深悟思想方法

管甜甜

“走進(jìn)圖形世界”是初中幾何學(xué)習(xí)的起始部分.對這一章重難點(diǎn)的掌握程度、思想方法的體會(huì)程度，將會(huì)影響同學(xué)們接下來的幾何學(xué)習(xí)信心以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情.下面通過幾個(gè)經(jīng)典例題，與同學(xué)們一起來探索本章中常用的數(shù)學(xué)思想方法.

一、“概念型”的分類思想

例1 將下列幾何體分類，并說明理由.

【分析】本題應(yīng)在認(rèn)識(shí)到以上幾何體的各自特征基礎(chǔ)上，比較它們之間的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，再將它們進(jìn)行分類.棱柱的特征：組成棱柱的面都是平面，上下底面是形狀、大小都相同的多邊形，側(cè)面是長方形或平行四邊形.球的特征：組成球的面是曲面.圓柱的特征：上下底面是大小相同的圓，側(cè)面是曲面.棱錐的特征：組成棱錐的面都是平面，底面是多邊形，側(cè)面是三角形.圓錐的特征：底面是一個(gè)圓，側(cè)面是曲面.

【答案】①若按柱、錐、球分：棱柱、圓柱是一類，為柱體；棱錐、圓錐是一類，為錐體；球是一類為球體.

②若按組成幾何體的面中是否有曲面來分：棱柱、棱錐是一類，即組成幾何體的各個(gè)面都是平面圖形；球、圓柱、圓錐是一類，即組成幾何體的面中至少有一個(gè)面是曲面.

③若按幾何體是否有頂點(diǎn)來分：棱柱、棱錐、圓錐是一類，即至少有一個(gè)頂點(diǎn)；球、圓柱是一類，沒有頂點(diǎn).

【點(diǎn)評】這是一個(gè)開放型題目，又滲透了分類的思想.分類思想是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)研究對象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想.概念型的分類，一定要充分了解分類對象的屬性，統(tǒng)一好分類的標(biāo)準(zhǔn)，不一樣的標(biāo)準(zhǔn)將會(huì)有不一樣的結(jié)果.

二、“結(jié)論型”的分類思想

例2 把下圖中的直角三角形和直角梯形（一腰垂直于底的梯形）相等的邊拼在一起，可以拼成哪些不同的平面圖形？

【分析】仔細(xì)觀察圖形，兩個(gè)圖形中有長度分別為1，2的邊長，可以分類將長度為1的拼在一起，長度為2的拼在一起.在此過程中讓一個(gè)圖形位置不變，另一個(gè)通過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等圖形運(yùn)動(dòng)將相等的邊拼在一起.注意分類還不能遺漏，圖中還有兩條沒標(biāo)注長度的邊，需要考慮.

【答案】所拼成的圖形有直角三角形、有1個(gè)角是直角的凹五邊形、等腰梯形、平行四邊形、有2個(gè)角是直角的凸四邊形、有1個(gè)角是直角的凸五邊形、正方形、有3個(gè)角是直角的凸五邊形等8種情況如下：

【點(diǎn)評】這是一個(gè)操作型題目，其中也滲透了分類的思想，求解的數(shù)學(xué)問題結(jié)論一般有多種情況.如何將所有的情況不遺漏地全部得到，這就需要我們能夠有條理地進(jìn)行分類.因此，從所給的問題情境中，正確而迅速地辨認(rèn)題目中與分類有關(guān)的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵.

三、“探索型”的化歸思想

例3 十八世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉證明了簡單多面體中頂點(diǎn)數(shù) （V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的一個(gè)有趣的關(guān)系式，被稱為歐拉公式.請你觀察下列幾種簡單多面體模型，解答下列問題.

（1）根據(jù)上面多面體模型，完成表格：

你發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)數(shù) （V）、面數(shù)（F）、棱數(shù)（E）之間存在的關(guān)系式是_______________；

（2）一個(gè)多面體的面數(shù)比頂點(diǎn)數(shù)大8，且有30條棱，則這個(gè)多面體的面數(shù)是_______________；

（3）某個(gè)玻璃飾品的外形是簡單多面體，它的外表面由三角形和八邊形兩種多邊形拼接而成，且有24個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)處都有3條棱.設(shè)該多面體外表面三角形為x個(gè)，八邊形為y個(gè)，求x+y的值.

【分析】本題是一個(gè)有關(guān)歐拉公式的探索以及運(yùn)用的題型.（1）通過觀察幾個(gè)特殊幾何體的頂點(diǎn)數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)，得出具體數(shù)值，再探索出它們之間的一般關(guān)系. 經(jīng)歷由易到難，由特殊到一般的探索過程.（2）運(yùn)用歐拉公式解決問題.（3）運(yùn)用歐拉公式解決問題，與（2）不同的是，棱數(shù)要計(jì)算出來，這是一個(gè)小難點(diǎn).

【答案】（1）

發(fā)現(xiàn)：4+4-6=2，8+6-12=2，6+8-12=2，20+12-30=2，于是有：V+F-E=2.

（2）面數(shù)為20.

（3）每個(gè)頂點(diǎn)處有3條棱，這樣24個(gè)頂點(diǎn)共有72條棱.但是每條棱連著兩個(gè)頂點(diǎn)，每條棱均算了兩遍，實(shí)際上棱只有36條，根據(jù)歐拉公式V+F-E=2，可得x+y=14.

【點(diǎn)評】本題是寧波市的一道中考題，是典型的探索與運(yùn)用題型.如果沒有第（1）問的直觀幾何體鋪墊，同學(xué)們無從下手推導(dǎo)出抽象的歐拉公式.此題正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中常用的化歸思想，將一個(gè)問題由難化易，由繁化簡，進(jìn)行轉(zhuǎn)化和歸結(jié).化歸不僅是重要的解題思想，更是一種有效的數(shù)學(xué)思維方式.

（作者單位：江蘇省南京市第二十九中學(xué)致遠(yuǎn)初級中學(xué)）endprint