漸開線轉子型線的參數化與最優化研究

李玉龍, 冉光澤，張宸赫

(成都大學 機械工程學院，四川 成都 610106)

漸開線轉子型線的參數化與最優化研究

李玉龍, 冉光澤，張宸赫

(成都大學 機械工程學院，四川 成都 610106)

為實現羅茨泵漸開線轉子副的造型參數化與尺寸最優化，基于漸開線的成形原理，從幾何關系、理論型線、取值范圍、實際型線和參數化模型等方面，給出實際型線的全參數化坐標方程與3D模型的構建方法；以節圓半徑和形狀系數為設計變量，轉子副所占方體空間的最小體積為目標函數，構建優化模型和實例分析.結果表明，峰圓弧與谷圓弧僅為型線的過渡曲線，并不參與嚙合運動；三維模型驗證，均能實現零件與裝配件的全參數化；容積利用系數的擬合精度高，4階的多項式擬合能滿足設計要求；實例參數下，105 mm節圓半徑和1.367形狀系數的優化結果，說明轉子尺寸優選的必要性.

羅茨泵；漸開線轉子；造型參數化；容積利用系數；設計最優化

0 引 言

羅茨泵是一種回轉式容積泵，工作原理類似于齒輪泵，具有原理簡單、體積小、重量輕、成本低、密封性好與無污染等特點，在鼓風、抽真空與介質輸送等方面有著廣泛的應用[1-3].其中，多葉轉子是羅茨泵的核心部件，其型線設計的好壞，直接決定泵的性能.依據應用場合的不同，轉子可采用圓弧、漸開線、擺線、直線、拋物線等多種線型，或彼此間的組合線型[4-5].目前，針對型線造型的研究比較多，但能夠真正實現全參數化的卻比較少.雖然漸開線被齒輪傳動所廣泛采用，但在羅茨泵轉子上的應用研究卻很少，現有的也僅限于給出了型線的理論方程[6-7].另外，轉子幾何尺寸的確定，會受到諸如旋心距取整、最小谷部尺寸、最大最小轉子寬度及最小容積利用系數等多方面的限制，存在著一個設計上的優化問題[8]，但相關文獻報道極少.基于此，本研究針對漸開線轉子，擬就其實際型線的全參數化方程和轉子尺寸的優化設計做進一步的深入研究與分析.

1 幾何關系

轉子型線分為節圓之內的谷型線和節圓之外的峰型線兩類，且兩者互為共軛.對漸開線型線而言，其共軛曲線仍為漸開線.設N為轉子的葉數，以主動轉子旋心o1為原點，谷部對稱軸線(簡稱谷軸)為x軸，構建xo1y坐標系，截取一半完整葉后的幾何輪廓如圖1所示.其中，δ為轉子間的間隙.δ=0時，得到的是轉子的理論型線，否則是實際型線.

圖1漸開線型線幾何關系

漸開線轉子的理論型線，由圖1中峰圓弧段1、漸開線段2和谷圓弧段3組成.其中，根據嚙合傳動的需要，峰圓弧段1的圓心on位于節圓和峰軸上，谷圓弧段3的圓心on位于節圓和谷軸上.令，

(1)

式中，φ為轉子理論型線所對應的旋心夾角；r為節圓半徑；α為節圓壓力角；rb為基圓半徑；ra為理論峰徑；rv為理論谷徑；ε為理論形狀系數.rn為理論峰弧段1的圓半徑.

由漸開線段2在基圓上的純滾動角也為φ，得峰圓弧段1和谷圓弧段3不參與嚙合，這一點與常見漸開線齒輪的齒頂圓弧和過渡曲線段一樣.

2 理論型線

轉子理論型線上的漸開線段2如圖2所示.設點m為其上的任意一點，漸開線段2的起始與終止點為點s與點e；s、m與e三點各自所對應的曲心為os、om與oe；各自所對應的半徑為rs、rm與re；各自法線與節圓的交點為ps、pm與pe；各自的壓力角與展角為αs與θs、αm與θm、αe與θe.

圖2轉子理論型線示意圖

在圖2的Δo1pss與Δo1pee中，由各自三邊長間的幾何關系，整理得，

(2)

由漸開線的形成特點，得，

γ=∠pso1os-∠so1s-∠bo1s

=α-αs-(tgαs-αs)

(3)

式中，γ為漸開線段2在基圓上的對應點b與谷軸所對應的旋心角.其中，

αs=tg-1(tgα-rn/rb)

(4)

由于rm介于rs與re之間，則設，

rm(t)=rs+(re-rs)t

(5)

式中，t為0～1間的變量，并有，

αm(t)=cos-1(rb/rm)

θm(t)=tgαm-αm

(6)

3 取值范圍

在圖2中，將直角Δo1oss純滾動到直角Δo1oee位置，設s′為s純滾動后的新位置，則有，

(7)

式中，“-"表示兩點間展開線的長度；“⌒"表示兩點間基圓弧的長度，得，

(8)

在圖2的直角Δo1osps中，由，

(9)

得，

(10)

式中，αmin為α的取值下限.

由δ?2rb，則，

(11)

式中，εmax為ε的取值上限.

4 實際型線

由于間隙δ的存在，圖3中的理論漸開線段2上的任意一點m，將沿著該點處的法線向曲心om偏置0.5δ后到點mδ，該點即為轉子實際型線上的任意一點，此時有，

(12)

圖3轉子實際型線示意圖

5 坐標方程

在圖1的xo1y坐標系中，設實際峰圓弧段1上任意一點的坐標為(x1，y1)，實際漸開線段2的坐標為(x2，y2)，實際谷圓弧段3的坐標為(x3，y3).有，

(13)

和，

(14)

且，

6 參數模型

能生成實體的截面必須具有封閉輪廓.為此，需再構建出如下的峰軸線和谷軸線的參數化方程，

(16)

式中，(xa,ya)、(xv,yv)分別為峰、谷軸線的坐標方程.

首先，創建峰軸線、實際峰圓弧段1、實際漸開線段2、實際谷圓弧段3和谷軸線的規律曲線[9]；其次，再由它們圍成的封閉輪廓，拉伸成半葉實體；第三，在對半葉實體的軸孔除料后，由半葉實體關于由峰軸和z軸生成的面(簡稱峰軸面)對稱成一個整葉實體，再利用整葉的N參數化，圓周陣列出一個完整的轉子模型，并插入峰軸面、谷軸面和旋心軸.具體如圖4a所示.

圖4參數模型示意圖

在轉子副裝配模型中，生成主、從動轉子的裝配基準面和旋轉基準軸，其中，兩者之間的距離為2r(見圖4b).然后，通過裝配的參數化角度的約束關系，生成一對關于旋轉角度參數化的轉子副[9](見圖4c).葉數和δ=1 mm的參數化模型，如圖5所示.圖5中，實際間隙不可能達到1 mm，這里僅為顯示用.

圖5 轉子副模型示意圖

7 優化設計

在優化設計中，改設軸徑為0.00001 mm，將區間[1,εmax]9等分后，采用三維軟件的面積測量工具，測出形狀系數ε分別為這些等分點下的轉子截面積，然后計算得到一組容積利用系數λe的數據系列1.在Excel軟件中，采用“插入→圖表→XY散點圖→趨勢線→多項式→選項→顯示公式”的功能，得到的擬合方程為，

(17)

N=3時，容積利用系數的擬合曲線和擬合方程如圖6所示.圖6曲線顯示，擬合精度極高，4階多項式擬合足能滿足要求.

圖6擬合曲線和擬合方程

定義，

(18)

式中，v為轉子峰頂的切向線速度，一般控制在30～50 m/s之間；n為轉速；φL為轉子寬徑比，一般控制在1～2 之間；Qs為實際抽速；λgas=0.8～0.9為吸氣系數，常取λgas=0.85[2,9].

以轉子副所占立體空間的體積近似為泵的體積，整理后得，

Vinvolute=(2ra)(2ra+2r)L

(19)

式中，L為轉子的寬度.

則，優化模型為，

(20)

式中，OF表示目標函數；DV表示設計變量；CF表示約束函數，其中，r=int()表示r取整數.

當實例參數取，N=3、δ=0.1 mm、λgas=0.85、n=2 000 r/min、Qs=1.5 m3/s時，優化結果為，105 mm的節圓半徑和1.367的形狀系數.此時，并沒有采用N=3下1.464的最大形狀系數，說明存在一個優化設計的問題.

8 結 論

本研究認為：峰圓弧與谷圓弧僅為型線的過渡曲線，并不參與嚙合運動；經三維模型驗證，漸開線型線均能實現單個零件和裝配件模型的全參數化；容積利用系數的擬合精度高，且4階的多項式擬合足能滿足設計要求；實例參數下，105 mm節圓半徑和1.367形狀系數的優化結果，說明轉子尺寸存在著一定的優選.

[1]劉坤,李培印,李強，等.三軸羅茨真空泵的抽氣理論和結構設計[J].真空科學與技術學報,2015,35(8):934-939.

[2]Garambois P,Donnard G,Rigaud E，et al.Multiphysicscouplingbetweenperiodicgearmeshexcitationandinput/outputfluctuatingtorques:Applicationtoarootsvacuumpump[J].J Sound Vibr,2017,405(1):158-174.

[3]Wang J,Cui D,Pang X,et al.Geometricdesignandperformanceanalysisofanovelsmoothrotorprofileofclawvacuumpumps[J].Vacuum,2017,143(2):174-184.

[4]李海洋,趙玉剛,胡柳,等.漸開線型羅茨真空泵轉子型線的改進研究[J].機床與液壓,2011,39(22):37-39.

[5]張帥,宋愛平,田德云，等.羅茨泵轉子的輪廓型線設計及仿真[J].機械傳動,2014,38(3):91-93，101.

[6]楊常青.三級羅茨泵直腰繭形轉子型線的研究[J].真空,1986，23(6):8-13.

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ParameterizationandOptimizationResearchonInvoluteProfileofRotor

LIYulong,RANGuangze，ZHANGChenhao

(School of Mechanical Engineering, Chengdu University, Chengdu 610106, China)

In order to achieve the shaped-profiles parameterization and design optimization of involute rotor pairs for roots pump and based on the forming principle of involute,the paper,from five aspects of geometric relationship,theoretical involute shaped-profiles,value range of shape coefficient,practical involute shaped-profiles and parametric model,proposes the full parametric coordinate equation of involute shaped-profiles and its corresponding 3D model construction method.Then by using pitch circle radius and shape coefficient as two design variables,the minimum wrapping cube space volume of rotor pair as an objective function,the optimized model is constructed and a case study is done.All results show that the peak-arc and the valley-arc are only served as transition curve not engaged in the meshing movement;the full parameterization of single part and assembly rotor parts can be realized in corresponding 3D parametric model experiments.The fitting accuracy of the volume utilization coefficient is high,so that the four-order polynomial fitting is needed to meet the design requirements.The optimization results obtained under the condition of the optimal pitch circular radius of 105 mm and the optimal shape coefficient of 1.367 illustrate the necessity of optimization of the rotor size.It is concluded that the full parametric modeling methods and design method can be used for other shape rotor of roots pump.

roots pump;involute rotor;parametric shaped-profiles;volume utilization coefficient;design optimization

TB752+.26；TH166

A

1004-5422(2017)04-0398-04

2017-08-15.

四川省教育廳自然科學基金(16ZA0382)資助項目.

李玉龍(1968 — )，男，博士，教授，從事泵理論與璣代設計方法研究.