立體織機打緯機構動力學方程的對稱性解法

鄭明亮

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立體織機打緯機構動力學方程的對稱性解法

鄭明亮

（浙江理工大學 機械與控制學院，浙江 杭州 310018）

曲柄滑塊式打緯機構廣泛應用于立體織機平行打緯中，對其進行全面深入準確的動力學特性研究，將有助于提升織機整體性能，提高生產效率。本文主要基于Lie對稱性理論精確計算了立體織機打緯機構的動力學方程，以此克服位置非線性數值分析以及與設計參數定量顯示關系的困難。首先，在考慮打緯機構的非線性幾何約束，依據分析力學方法建立了兩自由度打緯機構動力學模型；其次，運用首次積分法得到機構性能指標打緯力的解析動態響應曲線，并進行了連續性局部參數靈敏度分析；最后，實際算例表明用對稱性理論研究機構非線性動力學特性，方法新穎，適用范圍廣，結果可靠準確，本文的研究內容也為織機打緯機構更精確地動態優化設計和先進控制奠定了理論基礎。

打緯機構；非線性約束；Lie對稱性；打緯力

0 引言

立體織造技術是一種新型紡織技術，它使紗線在三維空間中沿著多個方向分布并相互交織在一起形成不分層的整體結構，由它作為碳纖維增強體制成的復合材料具有一系列優異的性能[1-2]，近年來在航空、汽車、能源、航天、運動器材、交通等許多領域得到飛速發展。打緯運動是三維立體織造中非常重要的核心環節，它的設計將會影響引緯機構、開口機構，還直接關系到碳纖維織物的形成。現有碳纖維立體織機打緯機構普遍采用的是的曲柄滑塊裝置同步驅動鋼筘垂直入緯，實現平行打緯[3-5]，通過控制曲柄滑塊機構伺服電機的輸入參數實現變打緯力輸出，可適應不同層數、不同規格立體織物的打緯力需求。在織造過程中，打緯力必須大于打緯阻力，才能順利完成打緯運動動作。因此，打緯力的精確計算和校核是設計打緯機構的基礎和關鍵[6-7]。建立打緯機構動力學模型并利用現代分析力學方法開展研究，對于改善織機織造工藝性能有重要意義。

目前對織機打緯機構的研究僅停留在簡單動力學建模和運動學研究上，或者應用虛擬軟件對機構進行動態建模獲取其動態性能指標。無論理論求解和軟件仿真計算都多以數值手段為主，即采用數值積分方法，計算系統的動力學響應，從而分析系統中存在的運動現象和力學特性[8-13]。而在機構動力學方程方程精確解析解求方面一直很少有文獻涉及，由于困難重重，尚處于起步階段。Lie對稱性理論在處理線性和非線性、常系數和變系數微分方程的問題都是等同的，它和其他的現代分析方法一起，是求常-偏微分方程的解析解的最可能統一的通用工具，可以用來進行大范圍的全局動力學研究，且計算過程易于程序化特點[14]。國內外關于利用Lie對稱性方法解析研究立體織機打緯機構動力學還未有報道。本文基于Lie對稱性方法對打緯機構的動態性能響應進行研究，進而指出系統參數對機構動態特性的影響，為實現打緯機構的優化設計和合理控制策略提供理論依據。

1 動力學系統的Lie對稱性理論

設完整約束非奇異力學Lagrange系統以廣義加速度形式的微分方程為：

引進時間和坐標的特殊無限小變換：

微分運動方程的Lie對稱性是指方程(1-1)在上述無限小變換（2）下形式不變[15]，即：

上式也可以表述成Lie對稱性確定方程：

Lie確定方程(1-4)展開形式為：

微分方程群分析是用來尋找微分方程的對稱性，連續變換的對稱性都對應著一條守恒定律，一個守恒量對應一個首次積分，進而系統微分方程達到降階和約化，守恒律在微分方程的可積性、線性化、運動常數方面有重要作用。Lie對稱性在一定條件下可直接導致新型守恒量，再結合初始條件，從而很容易解出原高階系統的精確響應解。

成立，則系統Lie對稱性對應的守恒量表達式為[15]：

2 立體織機打緯機構動力學模型

普通織機主要用于織造平面織物，鋼筘的運動軌跡為圓弧，屬于擺動打緯，很難將立體織物的數根緯紗同時打入織口，并使每根緯紗所受到的打擊力相等，因此，對立體織物的平行打緯動作需要使用前后往復運動規律，借用普通織機打緯運動設計思想，根據機構學當四桿機構中有一連桿為曲柄，另一連桿相對機架作往復移動而成為滑塊時，四桿機構就變成曲柄滑塊機構，選擇對心曲柄滑塊式立體織機打緯機構作為研究對象，如圖1。

圖1 打緯機構的三維實體圖

圖2 曲柄滑塊打緯機構示意圖

當織機運轉速度不是很高時，可以將打緯機構的所有構件看作剛性體，同時考慮到本文是首次用力學系統的對稱性理論去分析機械多體系統的動力學特性，解析求解微分方程的自由度不應過多，本著能說明問題和方法的可行性原則，所以本文暫時不考慮織機打緯機構運動副間隙、構件的彈性變形以及機電耦合等因素。其機構示意圖如圖2所示。

轉盤，連桿和滑塊的重力勢能分別為：

由矢量封閉三角形可知，機構有以下明顯非線性幾何約束條件：

整理式(14)可得到多體動力學歐拉-拉格朗日方程：

其中

3 打緯機構的動態特性分析

上述方程的解將非常困難，為此我們從系統本身的一些具體特性出發，易知此約束系統有廣義能量守恒，顯然易得到：

慣性打緯力計算公式如下：

對于具體的織機結構模型，可以進一步計算打緯性能指標對設計參數的靈敏度數值大小。

4 實際例子說明

以普通某型立體織機為例進行打緯機構的動力學特性分析，打緯過程中鋼筘所受的打緯阻力基本由兩部分構成：一是緯紗在運動過程中與經紗摩擦所受的摩擦阻力，二是經紗對緯紗的彈性阻力打緯阻力由經紗、緯紗之間的摩擦阻力和彈性阻力組成，大小主要取決于紗線種類、經紗張力、經紗角、緯密、經密和幅寬等因素，計算過程復雜，計算詳細可參見文獻[16]。打緯阻力和驅動力精確數值一般由試驗系統，系統具體設計參數示于表1中：

表1 曲柄滑塊機構的相關設計參數

圖3 曲柄轉角變化曲線圖

圖4 打緯力變化曲線圖

圖5 打緯力與驅動力矩變化圖

圖6 打緯力與尺寸比變化圖

圖7 打緯力與阻力變化圖

圖7基本可表明，尺寸比和打緯阻力的作用足以影響打緯性能，尺寸長度比與打緯性能關影響系最明顯，打緯阻力影響也是較明顯的，轉矩對機構加速度影響不明顯。因此，單純增加打緯機構電機驅動來提升動態性能的方式并非行之有效的方法，應綜合考慮織機轉速、結構尺寸、織物種類并結合打緯機構其他方向變形帶來的影響來綜合參數匹配。

5 結語

本文應用分析力學方法建立了立體織機打緯機構系統兩自由度動力學模型，用Lie對稱法計算了系統機構精確的動態性能指標打緯力變化規律曲線，并指明了一些設計參數對其變化的影響關系。結果表明，Lie分析方法對于求解非線性方程具有良好的擴展性，是高效、準確的，可以為含復雜因素的打緯機構動力學特性提供有用的分析工具。同時，本文的內容也為打緯機構打緯力的精確控制方法和結構優化提高奠定了基礎。

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Symmetry Solution of Dynamic Equations of Weft Beating Mechanism of Stereo Loom

ZHENG Ming-liang

(School of mechanical engineering, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou Zhejiang 310018, China)

The slider crank beating up mechanism is widely used in the parallel beating up of three dimensional looms. It is helpful to improve the overall performance of the loom and increase the production efficiency by studying the dynamics characteristics comprehensively and accurately. In this paper, the dynamic equations of the weft beating mechanism of a solid loom are calculated accurately based on the Lie symmetry method, in order to overcome the difficulty of the position nonlinear numerical analysis and the quantitative display of the design parameters. First, considering the nonlinear geometric constraint of beating up mechanism, a dynamic model of two degree of freedom beating up mechanism is established according to the analytical mechanics method; secondly, the analytical dynamic response curve of beating force of mechanism performance index is obtained by the first integral method, and the continuous local parameter sensitivity analysis is also carried out; finally, the practical example shows that the theory of symmetry can be used to study the nonlinear dynamic characteristics of mechanisms. The method is novel, applicable to a wide range, reliable and accurate. The research content of this paper lays a theoretical foundation for more accurate dynamic optimization design and advanced control of loom beating up mechanism.

beating up mechanism; nonlinear constraint; Lie symmetry; beating force

Th122.0322

A

2095－414X(2017)06－0037－07

鄭明亮（1988-），男，博士研究生，研究方向：機械振動與動力學控制.