一類和式極限的求法

李建麗，張文娟

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

一類和式極限的求法

李建麗，張文娟

（長治學院 數學系，山西 長治 046011）

采用對區間進行等比分割的方法，并取小區間的端點或等比中項，將一類和式極限轉化為定積分來計算，進一步，將此方法推廣到矩形區域上，將和式極限轉化為二重積分來計算，并通過實例加以應用。

等比法；和式極限；定積分

1 預備知識

極限問題的研究是數學中一直以來討論的話題，尤其是和式極限，到目前為止還沒有一個統一的方法，文獻[1-3]研究了幾類特殊和式極限的計算方法。我們知道，極限方式定義了定積分，反過來定積分又在求極限的過程中扮演著重要的角色，利用積分求極限是解決極限問題的一種重要方法，特別是一般項由和式表達的極限。

眾所周知，定積分是一類和式極限[4]

其中△xi（i=1，2，…，n）是對[a，b]的任意分割，ξi∈△xi是任取的點。

在函數連續的條件下，對[a，b]采取n等分分割，得到：

這類極限的基本的特征是△xi中沒有i的表達式，即△xi與求和運算可交換順序[5]，例：經過簡單變形可轉化為定積分來計算。

由于定積分是對區間任意的分割，在每個分割的小區間上任意的取點，在可積條件下，無論怎樣分割和怎樣取點，和式具有相同的極限。這就使得定積分可以表示成不同形式的和式極限，但反過來，對于一個較為復雜的和式極限，從直觀上難以判斷是如何對區間作的分割，從而很難將其轉化為定積分計算。文章主要介紹一類具有某種特征的和式極限，并將其轉化為定積分。

2 主要結果

2.1 分割區間

設f（x）是定義在[a，b]（a＞0）上的連續函數，在[a，b]上插入n-1個分點：

這些點將[a，b]分成n個區間

在每個△xi上，若ξi取右（左）端點或等比中項，則f（x）的定積分可以寫為：

我們看到等式右邊是一個和式極限，但△xi不能與求和運算交換順序，對于這類極限我們可以借助于定積分的定義進行計算。

例1 計算

2.2 分割區域

設f（x，y）是定義在矩形區域D=[a，b]×[c，d]（a，c＞0）上的連續函數，將D進行分割∶

作法類似于以上基本思想，

這些直線將D分成n2個小矩形Δσij=[xi-1，xi][yj-1，yj]（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n），若分別取

可以將和式極限轉化為二重積分計算。

綜上，利用積分的定義求和式極限的關鍵是∶尋找被積函數，確定積分的上限和下限，從而運用等比法求解和式極限。

［1］王良成.用等價無窮小替換求一類和式極限［J］.大學數學，2013，（3）：97-100.

［2］陳思源.求解一類和式極限的新方法［J］.河南科學，2012，（3）：278-280.

［3］王海祥.一類和式極限問題的初等解法及推廣［J］.高等數學研究，2002，（3）：57-58.

［4］華東師范大學數學系.數學分析(上)［M］.北京:高等教育出版社，2010.202-223.

［5］裴禮文.數學分析中的典型問題與方法［M］.北京:高等教育出版社，2006.304-320.

O171

A

1673-2014（2017）05-0069-02

山西省高等學校大學生創新創業訓練項目（2017437）；山西省高等學校教學改革創新項目（J2016111）

2017—06—12

李建麗（1983— ），女，山西高平人，講師，碩士，主要從事基礎數學方面的研究。

（責任編輯 趙巨濤）