基于Matlab對(duì)彈丸外彈道運(yùn)動(dòng)軌跡仿真分析

董理贏，焦志剛，王志軍，王少宏

(1.中北大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 太原 030051； 2.沈陽理工大學(xué) 裝備工程學(xué)院，沈陽 110000)

【彈道工程和火藥工程】

基于Matlab對(duì)彈丸外彈道運(yùn)動(dòng)軌跡仿真分析

董理贏1，焦志剛2，王志軍1，王少宏1

(1.中北大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 太原 030051； 2.沈陽理工大學(xué) 裝備工程學(xué)院，沈陽 110000)

著重介紹彈丸外彈道運(yùn)動(dòng)軌跡仿真分析，得出彈丸質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程和榴彈剛體彈道方程；運(yùn)用Matlab軟件代入初始值用龍格-庫(kù)塔進(jìn)行仿真分析；仿真結(jié)果與彈道表相比，誤差在5%以內(nèi)。表明彈丸質(zhì)點(diǎn)彈道仿真結(jié)果與彈道表基本吻合。

外彈道；Matlab；坐標(biāo)系；龍格-庫(kù)塔

隨著科技的發(fā)展，微電子、航空航天，新型能源等高科技術(shù)正在，迅速向軍事、文化、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域延伸。現(xiàn)在技術(shù)產(chǎn)品以減少數(shù)量，提高質(zhì)量來保證軍事的絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。仿真技術(shù)越來越成為國(guó)家向前發(fā)展的重要的動(dòng)力源泉，不論是在培養(yǎng)技術(shù)人員、國(guó)防力量還是科研方面都是非常重要的方式，仿真技術(shù)出來為軍事領(lǐng)域帶來了巨大收益的同時(shí)，也為民用方面帶來了巨大收益，像在工程制造行業(yè)和民族企業(yè)等方面都帶來了非常巨大的社會(huì)利益和經(jīng)濟(jì)利益。這都?xì)w功于仿真技術(shù)的研究和開發(fā)，大大地降低了系統(tǒng)的研制的成本，提高了實(shí)驗(yàn)產(chǎn)品的成功率，為制造提供了安全的保障，為在緊急狀態(tài)下，可以進(jìn)行大批量生產(chǎn)。總的來說，仿真技術(shù)的研制，為軍事領(lǐng)域，民用方面都大大的降低了研制產(chǎn)品的成本，在和平的年代，許多軍事武器并不能投入到實(shí)際當(dāng)中，進(jìn)行試驗(yàn)數(shù)據(jù)的研究，因此仿真技術(shù)的研制，成為了當(dāng)代獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)重要的途徑之一。仿真技術(shù)也是隨著計(jì)算機(jī)的進(jìn)步而形成的新型的研究方法，同時(shí)計(jì)算機(jī)也為仿真技術(shù)提供了技術(shù)與基礎(chǔ)。

外彈道方程主要是在彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和剛體運(yùn)動(dòng)兩方面，兩者都是在基本假設(shè)的條件下進(jìn)行計(jì)算的，而彈丸剛體運(yùn)動(dòng)還需要考慮所受的力與力矩和本身的影響，彈丸剛體運(yùn)動(dòng)分為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)和繞質(zhì)心運(yùn)動(dòng)，這里我們著重介紹彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。

1 外彈道數(shù)學(xué)模型

1.1 彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)基本假設(shè)

基本假設(shè)的提出，不僅可以使問題簡(jiǎn)化，而且也能突出了影響彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的主要因素，易于揭露彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律5。

這些基本假設(shè)綜合如下：

① 在彈丸整個(gè)運(yùn)動(dòng)期間，假設(shè)章動(dòng)角(或攻角)δ=0；

② 彈丸是完全軸對(duì)稱體；

③ 氣象條件是標(biāo)準(zhǔn)的，無風(fēng)、雨、雪；

④ 地表面是一個(gè)平面；

⑤ 重力加速度大小不變(g=9.8 m/s2)，其方向始終鉛垂向下；

⑥ 忽略由于地球自轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的作用于飛行彈丸上的科氏慣性力。

1.2 相關(guān)參數(shù)確定

(1)彈道系數(shù)c的計(jì)算

彈道系數(shù)是表示彈丸本身的特征(形狀，尺寸大小和質(zhì)量)對(duì)運(yùn)動(dòng)影響的部分。其影響彈道系數(shù)c的大小主要由彈形系數(shù)、彈丸直徑和彈體重量決定。表達(dá)式為:

(1)

式中：i為彈形系數(shù)；d為彈丸直徑；m為彈丸質(zhì)量。

(2)空氣密度H(y)的計(jì)算

H(y)稱為空氣密度函數(shù)。在標(biāo)準(zhǔn)氣象條件下，H(y)具有一些近似的經(jīng)驗(yàn)公式。

(3)阻力函數(shù)G(v,cx)的計(jì)算

G(v,cx)是彈丸速度v與音速cx的函數(shù)，所以叫做阻力函數(shù)。為了方便彈道計(jì)算，通過使用阻力定律將G(v,cx)編制成網(wǎng)格的形式，因?yàn)樗莢和cx的函數(shù)，編制的網(wǎng)格復(fù)雜又不方便使用。所以在外彈道計(jì)算中加入一個(gè)假虛速度(又稱虛溫)vτ，并使

(2)

式中：v是彈丸在空中飛行中某以時(shí)刻t的飛行速度；cs是本地音速；c0n是音速的地面標(biāo)準(zhǔn)值；vτ的含義是本地音速為c0n時(shí)，和彈丸馬赫Ma相同的彈丸設(shè)想速度。從而得出阻力函數(shù)的表達(dá)式：

(3)

式中Cxo為標(biāo)準(zhǔn)彈阻力系數(shù)，由1943年阻力定律表查的。

(4)阻力定律

標(biāo)準(zhǔn)彈的阻力系數(shù)Cxo與Ma數(shù)的函數(shù)關(guān)系，就是所說的空氣阻力定律。

西亞切阻力定律與43年阻力定律的cxo～Ma曲線[1]，如圖1所示。

圖1 cxo～Ma曲線

1.3 質(zhì)點(diǎn)彈道方程建立

在基本假設(shè)的前提下，可寫出彈丸的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)矢量方程[5]：

(4)

(5)

其中：x,y分別是彈丸離開炮口后t時(shí)刻的坐標(biāo)(x,y)的水平分量和鉛直分量；c為彈道系數(shù)；θ為彈道傾角；vx,vy分別是水平分速度和鉛直分速度；g為重力加速度；H(y)為空氣密度函數(shù)；G(v,cs)為阻力函數(shù)。

圖2 直角坐標(biāo)系

1.4 122 mm榴彈基本參量

PL96式122毫米殺爆彈彈丸

① 彈丸表定質(zhì)量：G=21.76 kg；

② 彈丸初速：vo=700 m/s；

③ 彈丸質(zhì)量膛壓：pi=3 050 kg/cm2；

④ 質(zhì)心距離(距彈底)：Xc=262 mm；

熒光光譜法是一種可以檢測(cè)結(jié)構(gòu)、官能團(tuán)以及熒光成分不同的植物油的方法，這種方法不必制備大量的樣品，有較高的靈敏度和選擇性。方慧敏[18]辨別芝麻油、花生油和菜籽油主要通過同步熒光圖和三維熒光等高線譜圖結(jié)合的方法，但能夠發(fā)熒光的物質(zhì)較少，易受溫度等其他條件影響。

⑤ 慣性比：

JY/JX=0.477 6 kg·cm2/0.046 4 kg·cm2=10.298

⑥i43=1.0，彈丸射角θo=45°；

⑦ 彈體材料D60，彈丸質(zhì)量G1=21.76 kg；

⑧ 榴彈全長(zhǎng)l=467 mm

2 質(zhì)點(diǎn)彈道仿真分析

文中在求解彈道諸元算法采用的是四階龍格-庫(kù)塔法，其流程如圖3所示。

圖3 龍格-庫(kù)塔法程序流程

該方法有如下優(yōu)點(diǎn):

對(duì)于外彈道的計(jì)算，通常使用龍格-庫(kù)塔法(Runge-Kutta)[6]，其優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算精度高，程序簡(jiǎn)單，改變步長(zhǎng)方便，具有同一型式的計(jì)算流程圖，不需要進(jìn)行“起始”計(jì)算；缺點(diǎn)是對(duì)于每一次的積分步驟都需要計(jì)算四次右端函數(shù)，重復(fù)計(jì)算量十分巨大，但是這也正是電子計(jì)算機(jī)所擅長(zhǎng)的領(lǐng)域。能很好的適應(yīng)方程右端為間斷函數(shù)的情況。四階龍格-庫(kù)塔法基于下面公式算yn+1:

(6)

通過將k1,k2,k3,k4在同一點(diǎn)xn,yn泰勒展開，與四階泰勒級(jí)數(shù)法比較系數(shù)，式(6)的截段誤差階為Oh5。

本文通過Matlab軟件以直徑122 mm榴彈進(jìn)行仿真。根據(jù)外彈道學(xué)知識(shí)可知，當(dāng)初始速度、彈丸傾角、彈道系數(shù)等初始值一定時(shí)，就可以準(zhǔn)確地得出一條彈丸在空中運(yùn)動(dòng)的彈道曲線。在通過彈丸彈道仿真時(shí)，彈道系數(shù)通過初始值可以直接算出，彈丸的初始速度、彈道傾角都可以在Matlab軟件2中進(jìn)行更改和制定。在進(jìn)行仿真時(shí)，我們通常采用方法是用變步長(zhǎng)的四階龍格-庫(kù)塔法算法進(jìn)行的，積分步長(zhǎng)自動(dòng)調(diào)控，允許的相對(duì)誤差控制在5%以內(nèi)，絕對(duì)誤差自行調(diào)節(jié)，仿真開始時(shí)t=0，代入初始數(shù)據(jù)，開始進(jìn)行仿真，以t為自變量，在基準(zhǔn)坐標(biāo)系下建立彈丸質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程組,本文選擇的彈丸彈道系數(shù)為c=0.661 7。初始方向(彈道傾角)θ=45°。射程為16 375 m。彈重為21.76 kg。在不計(jì)空氣阻力情況下，達(dá)到16 375 m的射程要求初速度700 m/s。 因此本文假設(shè)炮彈的射程為16 375 m對(duì)其進(jìn)行仿真。獲得了彈丸質(zhì)心飛行彈道的彈道諸元曲線。

122 mm榴彈質(zhì)點(diǎn)飛行距離和飛行高度隨時(shí)間變化曲線如圖4；射程隨時(shí)間變化的曲線如圖5；射高隨時(shí)間變化的曲線如圖6；垂直速度隨時(shí)間變化的曲線如圖7；水平速度隨時(shí)間變化的曲線如圖8。

圖4 122 mm榴彈質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡

圖5 榴彈質(zhì)點(diǎn)射程變化曲線

圖6 榴彈質(zhì)點(diǎn)彈道高變化曲線

圖7 榴彈質(zhì)點(diǎn)垂直速度變化曲線

圖8 榴彈質(zhì)點(diǎn)水平速度變化曲線

可以看出在彈丸飛行[3]過程中，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，速度不斷減小。當(dāng)彈丸達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，進(jìn)入下降段，速度緩慢增加。初速為700 m/s，到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)速度為265.5 m/s，落地時(shí)速度為294 m/s。

通過仿真結(jié)果可以看出最遠(yuǎn)射程為16 670 m，查彈道表射程為16 375 m，誤差小于5%，在允許的范圍內(nèi)。通過彈道表查出其他彈道諸元之值也是在允許的誤差范圍內(nèi)，因此仿真模型得到的結(jié)果比較符合實(shí)際飛行規(guī)律。

3 結(jié)論

相比于其他的建模軟件，Matlab具有編程效率高、使用方便、擴(kuò)充能力強(qiáng)、語言簡(jiǎn)單，內(nèi)容豐富、高效方便的矩陣和數(shù)組運(yùn)算等優(yōu)勢(shì)。通過分析122mm榴彈質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)仿真分析與彈道表數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，誤差在允許的范圍內(nèi)，所得出仿真結(jié)果符合實(shí)際飛行軌跡，對(duì)榴彈在實(shí)戰(zhàn)演練中具有一定的參考價(jià)值。

[1] 王志軍,尹建平.彈藥學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社,2005.

[2] 焦志剛，彈丸設(shè)計(jì)理論[M].沈陽：沈陽理工大學(xué)，2008.

[3] 曹紅松，張亞，高躍飛.兵器概論[M]. 北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2008.

[4] 韓子鵬.彈箭外彈道學(xué)[M]. 北京：北京理工大學(xué)出版社，2014.2.

[5] MATTHEWS S.SMITH.Stability and Dispersion analysis for rockets and projectiles[M].1970.

[6] 陳桂明.應(yīng)用 MATLAB 建模與仿真[M].北京：科學(xué)出版社，2001.

[7] 王行仁.建模與仿真的回顧及展望[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，1999(5)：309-311.

[8] 宋丕極.槍炮與火箭外彈道學(xué)[M].北京：兵器工業(yè)出版社，1993.

[9] 錢林方.火炮外彈道學(xué)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2009.

SimulationAnalysisofBallisticTrajectoryofProjectileBasedonMatlab

DONG Liying1, JIAO Zhigang2, WANG Zhijun1, WANG Shaohong1

(1.School of Mechatronic Engineering, North University of China, Taiyuan 030051, China;(2.School of Equipment Engineering, Shenyang Ligong University, Shenyang 110000, China)

This paper focuses on the analysis of the ballistic trajectory simulation of projectile, the projectile and projectile body trajectory equation of particle motion equation; initial value by using Matlab software simulation analysis using the Runge Kutta; the simulation results are compared with the trajectory table, the error is less than 5%. The simulation results show that the projectile particle trajectory is consistent with the trajectory.

exterior ballistics; Matlab; coordinate system; runge kutta

2017-08-10；

2017-09-02

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11572291)；山西省研究生聯(lián)合培養(yǎng)基地人才培養(yǎng)項(xiàng)目(20160033,20170028)

董理贏(1994—)，男，碩士研究生；主要從事兵器科學(xué)與技術(shù)研究。

10.11809/scbgxb2017.12.023

本文引用格式：董理贏，焦志剛，王志軍，等.基于Matlab對(duì)彈丸外彈道運(yùn)動(dòng)軌跡仿真分析[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(12):98-101.

formatDONG Liying, JIAO Zhigang, WANG Zhijun, et al.Simulation Analysis of Ballistic Trajectory of Projectile Based on Matlab[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2017(12):98-101.

TJ33

A

2096-2304(2017)12-0098-04

(責(zé)任編輯唐定國(guó))