二次函數(shù)圖像中三角形面積最值問題變式設(shè)計(jì)

田旭明

二次函數(shù)圖像中三角形面積最值問題是中考數(shù)學(xué)試題中較為常見的題型，它包含的知識(shí)點(diǎn)多，同時(shí)融合動(dòng)態(tài)探索性問題，集平面幾何、函數(shù)幾方程等相關(guān)知識(shí)于一體，題型靈活、難度適中，能較好的考查學(xué)生的綜合能力。學(xué)習(xí)重點(diǎn)是二次函數(shù)中求三角形面積最值問題的方法。學(xué)習(xí)難點(diǎn)是體會(huì)轉(zhuǎn)化、方程、函數(shù)等數(shù)學(xué)思想。本文圍繞一道三角形面積最值問題中所需反映的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)進(jìn)行一系列的問題變化，使學(xué)生得以掌握與提高，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、靈活轉(zhuǎn)換、獨(dú)立思考能力。

一、 引題

如圖1：拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)。

（1）直接寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；并求出頂點(diǎn) D的坐標(biāo)。

設(shè)計(jì)意圖：求A、B、C的坐標(biāo)的目的是解決點(diǎn)的坐標(biāo)問題，為基礎(chǔ)性練習(xí)，能用基本知識(shí)、基本方法加以解決，為解決后面的問題作好鋪墊。頂點(diǎn)D的坐標(biāo)可通過配方法或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，解法靈活多變。

（2）在圖1中線段AB上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP面積最大，若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出最大面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

設(shè)計(jì)意圖：理解拋物線的性質(zhì)，初步體會(huì)最值，進(jìn)一步理解△ABP面積最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)剛好是頂點(diǎn)坐標(biāo)，同時(shí)可以進(jìn)行題目變式，聯(lián)題成片。

（3）在圖2中線段BC上方的拋物線是否存在一點(diǎn)P，使得△BCP面積最大，若存在，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出最大面積，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

設(shè)計(jì)意圖：通過多種方法解決最值問題，體會(huì)幾何模型方法和函數(shù)模型來(lái)解決問題，理解解決方法的多樣性。

方法一：幾何模型

當(dāng)以BC底時(shí)，要使△BCP面積最大，則高必須最大，此時(shí)平移直線BC，與拋物線只有唯一交點(diǎn)時(shí)，高最大，此時(shí)轉(zhuǎn)化成平移后的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)問題。由點(diǎn)B、C的坐標(biāo)可得直線BC的解析式為y=-x+3，設(shè)平移后的直線解析式為y=-x+b，聯(lián)立y=-x+b與y=-x2+2x+3，消去y，得-x2+2x+3=-x+b，整理后得到x2-3x+b-3=0，此時(shí)△=0，即（-3）2-4（b-3）=0，得到b=214。進(jìn)一步得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（32，154），此時(shí)設(shè)平移后的直線與y軸交于點(diǎn)M，△BCP的面積就轉(zhuǎn)化成△BCM的面積，為278。

方法二：函數(shù)模型

如圖4，在線段BC上方的拋物線上找一點(diǎn)P，作PD//y軸，交BC于點(diǎn)D，設(shè)P （a，-a2+2a+3），則點(diǎn)D的坐標(biāo)可設(shè)為 （a，-a+3），所以PD=-a2+3a，可得△BCP的面積表示為S=1/2×3×（-a2+3a），通過配方得到： S=-32（a-32） 2+278，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)a=32時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（32，154），此時(shí)△BCP的面積取得最大值，為278。

通過比較兩種解法發(fā)現(xiàn)：幾何模型重在平移轉(zhuǎn)化，其轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)得比較明顯，函數(shù)模型重在建立函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)最值來(lái)解決三角形面積最值問題。兩種解答方法又有相通之處，其關(guān)鍵點(diǎn)在于求高的最大值。

通過對(duì)引題實(shí)施解法變式，追求一題多解，解法優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性和靈活性。在解法變式環(huán)節(jié)中，教師活動(dòng)體現(xiàn)在引導(dǎo)點(diǎn)撥和評(píng)價(jià)鼓勵(lì)，對(duì)學(xué)生探索到的解題思路，給予及時(shí)的鼓勵(lì)，以增強(qiáng)學(xué)生的探索信心和精神，激發(fā)探索欲。學(xué)生活動(dòng)體現(xiàn)在：自主探索解法，求新求異，多角度思考問題，多渠道尋求解決問題的方法，相互交流，相互啟發(fā)，擴(kuò)大探索成果，并自主總結(jié)各種解法的規(guī)律與技巧，形成解題技能。

二、 題目變式

在探索變式環(huán)節(jié)中，教師活動(dòng)體現(xiàn)在誘導(dǎo)啟發(fā)，激發(fā)學(xué)生的探索創(chuàng)新個(gè)欲望，及時(shí)評(píng)價(jià)，鼓勵(lì)學(xué)生的探索精神和繼續(xù)探索的勇氣。學(xué)生活動(dòng)體現(xiàn)在：在教師的引導(dǎo)下，獨(dú)立探索，挖掘題目變式，小組相互探討，通過相互交流，相互啟發(fā)，點(diǎn)燃創(chuàng)新思維的火花。

變式1：

如圖3，若拋物線為y=-ax2+2ax+3a（a>0），其它條件不變，點(diǎn)P是線段BC上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△BCP最大面積為94，求a的值。

與（3）小問比較發(fā)現(xiàn)：變式1在于函數(shù)解析式發(fā)生變化，已知最值，反過來(lái)求a的值。較好的體現(xiàn)了方程思想在解題中的作用。由前面的解題經(jīng)驗(yàn)，解決此題仍然可采取兩種方法解答。

方法一：當(dāng)以BC底時(shí)，要使△BCP面積最大為94，則高必須最大，此時(shí)平移直線BC，與拋物線只有唯一交點(diǎn)時(shí)，高最大，此時(shí)轉(zhuǎn)化成平移后的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)問題。

方法二：同引題（3）問解答，體現(xiàn)方程思想。

變式2：

如圖5，若拋物線為y=-ax2+2ax+3a（a>0），其它條件不變，過點(diǎn)A的直線l與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)F，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為E，且EF=4AF，點(diǎn)M是直線l上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若△AFM的面積的最大值為54，求a的值。

變式2在變式1的基礎(chǔ)上進(jìn)一步變化，通過解答分析，體會(huì)多題歸一，同時(shí)滲透方程思想、函數(shù)思想，進(jìn)一步提高解題能力

變式1到變式2，由易到難，層層遞進(jìn)，讓問題處于學(xué)生思維水平的最近發(fā)展區(qū)，充分激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。要讓學(xué)生經(jīng)過思考，能夠跨過一個(gè)個(gè)“門坎”，既起到訓(xùn)練的作用，又可以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，發(fā)展學(xué)生的智力。

本節(jié)二次函數(shù)圖像中三角形面積最值問題變式設(shè)計(jì)，從不同角度，不同層次，不同背景方面考慮，以暴露問題本質(zhì)特征，揭示不同知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系，以知識(shí)變式、題目變式、思維變式、方法變式為途徑，以培養(yǎng)具有創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力為目標(biāo)，讓學(xué)生展示個(gè)性，激發(fā)潛能，提高數(shù)學(xué)能力。

（作者單位：四川省成都七中萬(wàn)達(dá)學(xué)校）endprint