環(huán)Z2+uZ2+u2Z2(u3=1)上的2-D斜循環(huán)碼

趙瑞瑞,李秀麗

(青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，山東 青島 266061)

環(huán)Z2+uZ2+u2Z2(u3=1)上的2-D斜循環(huán)碼

趙瑞瑞,李秀麗*

(青島科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院，山東 青島 266061)

本文研究了環(huán)Z2+uZ2+u2Z2上的2-D斜循環(huán)碼，對二元斜多項式的性質(zhì)和因式分解進(jìn)行了討論。同時研究了線性碼是2-D斜循環(huán)碼的充要條件、2-D斜循環(huán)碼的性質(zhì)及其構(gòu)造方法 。

斜循環(huán)碼；斜多項式；2-D斜循環(huán)碼

1 預(yù)備知識

多項式環(huán)和理想通常被用來構(gòu)造循環(huán)碼。斜多項式環(huán)是非交換環(huán)，在代數(shù)碼的構(gòu)造上應(yīng)用廣泛。因為斜多項式環(huán)中的多項式不滿足乘法交換律，因此斜多項式環(huán)中比多項式環(huán)中存在更多的理想。文獻(xiàn)[1-2]中提出了利用斜多項式來構(gòu)造循環(huán)碼的一種推廣形式——斜循環(huán)碼，并且構(gòu)造出了許多好碼。近幾年，編碼領(lǐng)域的科學(xué)工作者以高斯環(huán)、Z2+uZ2+u2Z2、F4+vF4、Fp+vFp作為主要的研究對象，在斜循環(huán)碼的構(gòu)造方面，文獻(xiàn)[1-6]做了很多卓有成效的工作。文獻(xiàn)[3]中討論了環(huán)Z2+uZ2+u2Z2上的斜循環(huán)碼與多項式環(huán)理想的關(guān)系，并給出了斜循環(huán)碼的生成多項式。文獻(xiàn)[7]中介紹了在有限域上二維斜循環(huán)碼的一些基本性質(zhì)和構(gòu)造方法，以及2-D斜循環(huán)碼和斜循環(huán)碼以及循環(huán)碼之間的關(guān)系。

在本文中環(huán)R=Z2+uZ2+u2Z2={0,1,u,u2,1+u,1+u2,u+u2,1+u+u2}，其中u3=1。對任意的兩個元素a=a0+ua1+u2a2,b=b0+ub1+u2b2∈R，定義加法規(guī)則如下：c=a+b=c0+uc1+u2c2，其中ci=ai+bi(mod 2),i=0,1,2。乘法定義為c=ab=c0+uc1+u2c2，其中c0=a0b0+a1b2+a2b1(mod 2)，c1=a0b1+a1b0+a2b2(mod 2)，c2=a0b2+a2b0+a1b1(mod 2)。

c=(c0,c1,…,cn-1)∈C?Τσ(c)=(σ(cn-1),σ(c0),…,σ(cn-2，))∈C,

映射Τσ稱為σ-斜移位算子。如果σ是單位映射，那么C是R上的循環(huán)碼。

設(shè)σ是R上的一個自同構(gòu)映射，多項式集合R[x,σ]={∑aixi|ai∈R;i∈Z+}。在R[x,σ]上加法運(yùn)算定義為普通多項式加法，乘法定義為axi·bxj=aσi(b)xi+j。由分配律和結(jié)合律可擴(kuò)充為R[x,σ]上的任意元素之間的運(yùn)算，因此R[x,σ]是一個環(huán) 。

通常，如果f(x)∈R[x,σ]生成一個雙邊理想，那么R[x,σ]/的左理想是一個在R上長為deg(f(x))的線性碼。這樣的碼稱為斜線性碼，如果它是一個主左理想，那么稱它為主斜線性碼。

設(shè)σ和θ是R上的兩個自同構(gòu)映射，二元多項式集合

R[x,y;σ,θ]={∑∑aijxiyj|aij∈R;(i,j)∈Z+2},

在R[x,y;σ,θ]上加法運(yùn)算定義為普通多項式加法，乘法定義如下：

axiyj·bxryt=aσiθj(b)xi+ryj+t，

由分配律和結(jié)合律可擴(kuò)充為R[x,y;σ,θ]上的任意元素之間的運(yùn)算，因此R[x,y;σ,θ]是一個環(huán)。

定義1.2 設(shè)C是一個在R[x,y;σ,θ]上長度為n的線性碼，n=sl，寫成矩陣的形式，?c∈C有

如果矩陣c的行在σ斜移位和列在θ斜移位下仍在C中，稱C是一個R上的在σ和θ下大小為sl的2-D斜循環(huán)碼。如果σ和θ是單位映射，C是2-D循環(huán)碼。

2 二元斜多項式環(huán)R[x,y;σ,θ]

設(shè)f,g∈R[x,y;σ,θ]，且f,g的最高次項的系數(shù)在R上可逆，如果存在h∈R有f=h·g，那么g稱為f的右因子。左因子的定義類似。若g與任意多項式可交換，則g(x,y)∈Z(R[x,y;σ,θ])，稱g為中心多項式。

與[5]中證明類似，可得到以下結(jié)論：

引理2.1 如果g·h∈Z(R[x,y;σ,θ])，那么g·h=h·g。即一個中心多項式的右因子也是它的左因子。

(xs-1)·f(x,y)=f(x,y)·(xs-1)和(yl-1)·f(x,y)=f(x,y)·(yl-1)。

證明：設(shè)f(x,y)∈∑∑ai,jxiyj,ai,j∈R，

另一等式同理可證。

下面將文獻(xiàn)[4]中定理1推廣到到二元斜多項式環(huán)。

定理2.3 設(shè)兩個非零多項式f1(x,y),f2(x,y)∈R[x,y;σ,θ]，滿足deg(f1(x,y))≥deg(f2(x,y))，那么存在兩個多項式h(x,y)≠0,g(x,y)∈R[x,y;σ,θ]滿足f1(x,y)=h(x,y)·f2(x,y)+g(x,y)有h(x,y)=0或deg(f2(x,y))!≤deg(g(x,y))deg(f1(x,y))。(其中!≤表示不嚴(yán)格小于)

證明：設(shè)deg(f1(x,y))=(k1,λ1),deg(f2(x,y))=(k2,λ2)滿足(k1,λ1)≥(k2,λ2)。假如f1(x,y)和f2(x,y)的最高次項分別為ak1λ1xk1yλ1和bk2λ2xk2yλ2，ak1,λ1≠0且bk2λ2≠0，在R上可逆，存在h1(x,y)=ak1λ1(σk1-k2θλ1-λ2)-1(bk2λ2)xk1-k2yλ1-λ2和g1(x,y)=f1(x,y)-h1(x,y)·f2(x,y)，顯然有g(shù)1(x,y)=0或deg(g1(x,y))deg(f1(x,y))。如果g1(x,y)≠0，deg(f2(x,y))!≤deg(g1(x,y))結(jié)論得證，否則deg(f2)≤deg(g1)。類似地，存在h2(x,y)和g2(x,y)有g(shù)1(x,y)=h2(x,y)·f2(x,y)+g2(x,y)，滿足g2(x,y)=0或deg(g2(x,y))deg(g1(x,y))。如果g2(x,y)≠0，deg(f2(x,y))!≤deg(g2(x,y))，結(jié)論得證，否則deg(f2)≤deg(g2)。繼續(xù)按上述方法迭代，在有限次運(yùn)算之后停止，我們得到h1(x,y),h2(x,y),…,ht-1(x,y)和g1(x,y),g2(x,y),…,gt(x,y)有

f1(x,y)=h1(x,y)·f2(x,y)+g1(x,y)，

g1(x,y)=h2(x,y)·f2(x,y)+g2(x,y)，

…，

gt-1(x,y)=ht(x,y)·f2(x,y)+gt(x,y)，

滿足gt(x,y)=0或f2(x,y)!≤gt(x,y)。如果gt(x,y)≠0，有

deg(gt(x,y))deg(gt-1(x,y))…deg(g1(x,y))deg(f1(x,y))。

例2.4 設(shè)f1(x,y)=x4y2-2xy+5，f2(x,y)=x2y-2x+2，滿足deg(f1(x,y))>deg(f2(x,y))，容易得出f1(x,y)=h(x,y)·f2(x,y)+g(x,y)，其中h(x,y)=x2y-2，g(x,y)=-xy-2x+9，滿足定理要求。

3 2-D斜循環(huán)碼的結(jié)構(gòu)

且l是滿足上述條件的最小正整數(shù)。

這意味著，在R上長為n=sl下標(biāo)為l的斜準(zhǔn)循環(huán)碼C是在映射Τσ,l下Rsl的不變的R-子模。

設(shè)C是R上的長為n=sl的線性碼，它的碼字可以寫成s×l的矩陣形式：

從定義中可知C是2-D斜循環(huán)碼的充要條件是：

①C1是一個在σ下長為sl指數(shù)為l的斜準(zhǔn)循環(huán)碼；

②C2是一個在θ下長為sl指數(shù)為s的斜準(zhǔn)循環(huán)碼。

設(shè)F=R[x,y;σ,θ]/l，給出如下自同構(gòu)映射：

Rs×l→F，

Rs×l記為s×l的矩陣的集合。那么一個碼字c∈C可以被記為在上述映射下的一個二元多項式。因此在R上的斜循環(huán)碼也可以認(rèn)為是F的左R[x,y;σ,θ]-子模。

定理3.2F上的碼C是一個2-D斜循環(huán)碼，當(dāng)且僅當(dāng)C是一個F的左R[x,y;σ,θ]-子模。

證明： “?”在F中的碼C是2-D斜循環(huán)碼，碼C中的任意碼字的行σ-移位和列θ-移位仍在C中。設(shè)f(x,y)是C中的碼字的二元多項式表示，對任何非負(fù)整數(shù)i,j{xiyjf(x,y)}R仍是C中碼字的二元多項式表示，{xiyjf(x,y)}R表示x的指數(shù)模s,y的指數(shù)模l。C是線性的有{r(x,y)f(x,y)}R∈F，對?f(x,y)∈R[x,y;σ,θ]，所以C是F的左R[x,y;σ,θ]-子模。

“?”設(shè)C是F的左R[x,y;σ,θ]-子模，那么對?f(x,y)∈F我們有{x·f(x,y)}R∈C，{y·f(x,y)}R∈C。因此C是一個2-D斜循環(huán)碼。

例3.4 取R上的自同構(gòu)映射σ、θ為：σ(a0+ua1+u2a2)=a0+u2a1+ua2，其中ai∈Zi,i=0,1,2，σ=θ。易知若a∈R，則θ2(a)=a，即θ的階為2。 設(shè)l=4,s=2，那么D=是F的一個左理想，D/是一個4×2的2-D斜循環(huán)碼。

理想D有一個生成元為xiyj(x2+uxy+u2x2y)模，0≤i≤3,0≤j≤1的集合，相對應(yīng)的碼字為：

4 結(jié)語

本文對2-D斜多項式環(huán)的性質(zhì)和因式分解進(jìn)行了討論，給出了環(huán)Z2+uZ2+u2Z2上的一個自同構(gòu)，討論了其上的2-D斜循環(huán)碼的性質(zhì)及其構(gòu)造，并給出了一個實例加以說明。由于Z2+uZ2+u2Z2上的斜循環(huán)碼是廣義斜循環(huán)碼，其個數(shù)要比循環(huán)碼多，因此研究斜循環(huán)碼有利于找到更多的好碼。

[1]BOUCHERD, GEISELMANN W, ULMER F. Skew cyclic code[J]．Applied Algebra in Engineering Communication and Computing，2007，18(4): 379-389.

[2]BOUCHER.，ULMER F. Coding with skew polynomial rings [J]．Journal of Symbolic Computation，2009, 44: 1644-1656.

[3]李錦，朱士信.Z2+uZ2+u2Z2上的斜循環(huán)碼[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2011,34(11)：1745-1748.

[4]徐賢奇，朱士信.F4+vF4上的斜循環(huán)碼[J].合肥工業(yè)大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2011, 34(9)：1429-1732.

[5]BHAINTWAL M. Skew quasi-cyclic codes over Galois rings[J]. Des Codes Cryptogr，2012，62: 85-101.

[6]ABUALRUB T, GHRAYEB A, AYDIN N , et al. On the construction of skew quasi-cyclic codes [J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2010, 56: 2081-2090.

[7]LIX L, LI H Y. 2-Dskew-cyclic codes overFq[x,y;ρ,θ][J]. Finite Fields and Their Applications, 2014，25：49-63.

2-DskewcycliccodesovertheringZ2+uZ2+u2Z2(u3=1)

ZHAORui-rui,LIXiu-li*

(SchoolofMathematicsandPhysics,QingdaoUniversityofScienceandTechnology,Qingdao266061,China)

∶In this paper, the2-Dskew cyclic codes over the ringZ2+uZ2+u2Z2was studied. The properties and factorizations of bivariate skew polynomial were also discussed. Then the necessary and sufficient condition for linear code to be 2-Dskew cyclic code were given. Finally,the properties and the structure of 2-Dskew cyclic code were researched.

∶skew cyclic codes; skew polynomial;2-Dskew cyclic codes

10.3976/j.issn.1002-4026.2017.06.020

2017-01-09

山東省中青年科學(xué)家獎勵基金(BS2011DX011)；山東省科技廳聯(lián)合專項(ZR2013AL011)

趙瑞瑞(1992—),男，碩士研究生，研究方向為組合設(shè)計編碼。

*通信作者，李秀麗，女，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向為組合設(shè)計編碼。1436354481@qq.com

O157

A

1002-4026(2017)06-0119-05