平面向量的綜合運用

紀麗芬

摘 要：現行高中數學人教A版必修4在第二章新增加了“平面向量”的內容。因其既有代數的特點，又有幾何的性質，使“平面向量”成為高中數學一個比較特殊的概念，也是高中數學一個比較有研究價值的內容。近幾年來愈發受到高考命題者的青睞，成為高考的一個新亮點。“平面向量”的引入不僅豐富了高中數學的內容，也突出了向量作為數學工具的重要性。在實際運用中，向量跟其他很多數學知識都緊密聯系在一起，比如，向量與函數的聯系、向量與三角函數的聯系等，甚至還可以用向量去解決物理方面的問題。對平面向量的綜合運用進行探討，并就當前在平面向量的綜合運用的教學中存在的問題提出相應的解決對策。

關鍵詞：平面向量；綜合運用；解決辦法

數學這門學科在考查學生的數學基礎知識時，注重考查學生對學科內在聯系和知識綜合性的把握。近代高中數學中，向量作為溝通代數、幾何與三角函數的工具之一，有著極其豐富的內涵。有了向量，平移、垂直、相似、勾股定理等概念就轉化成了向量的加減法運算、數量積運算等。學生在做題考試時不可避免地會碰到諸如此類的將平面向量與其他內容結合的綜合性問題，這就要求學生既要掌握平面向量的知識點，也要熟悉其他的知識點，這樣才能更好地解決問題，提高解題效率和運算能力。然而，通過對近幾年高考數學向量試題的分析，我們很清楚地看到得分率與教師的期待相差甚遠，對此，筆者將在文中對出現的問題提出一些建議。

一、平面向量的綜合運用

平面向量因其特殊性常常會與其他內容結合作為選擇題和填空題在考試中出現。但學生卻往往因為沒有徹底掌握平面向量的知識，或是對其他內容的知識點沒有理解到位，常常在做有關平面向量的綜合運用的問題時感到束手無策。但其實總結起來，平面向量通常也只與下面三個內容進行綜合：

（一）平面向量與三角函數的綜合

平面向量與三角函數的綜合集中體現在向量與三角函數的化簡、求值與證明，三角函數的圖像與性質，解三角形等知識的綜合。比如，在解三角形的問題時，就可以借助平面向量，將三角函數中的正余弦定理巧妙地轉化，以邊角互化的方式去解決三角形的面積、邊長、角度等問題。掌握向量數量積的公式和性質是解決平面向量與三角函數綜合問題的關鍵。

（二）平面向量與平面解析幾何的綜合

由于平面向量自身的數形結合的特點，向量表現出了極其顯著的幾何背景。向量的線性運算和數量積運算可以用來表示平面幾何的平移、全等、相似、垂直等性質。因此，這種類型的綜合運用在考試時尤為常見。首先要求學生學會“數形結合”，用平面向量的幾何意義去解決平面向量問題。其次還應掌握運算法則。比如，數量積為零聯想到垂直；不共線的單位向量的和聯想到角平分線、菱形；不共線的兩向量的和的一半聯想到三角形的中線等。

（三）平面向量與函數的綜合

在考試中，經常用以向量為載體的形式考查函數的知識來體現平面向量與函數的綜合性。利用向量的知識將問題轉化為函數的問題是解題的關鍵，體現在求函數的值域及活用奇偶性、單調性、周期性以及對稱性等方面。平面向量與函數的結合要求學生在了解平面向量特點的基礎上靈活化用函數式。

二、解決當前在平面向量綜合運用的教學中存在的問題及對策

在近幾年的試題中，對平面向量的考查基本都是對上述的三種綜合類型的考查。然而，由于學生對平面向量的基本概念不夠理解，尤其是對平面向量基本定理的掌握不到位，解題時無法深入思考，從而不敢選用向量法求解。通過研究分析，目前學生在求解向量試題時主要存在法則運用不當、忽略零向量的特殊情形去判斷垂直和共線，忽視分類討論，誤用運算公式，忽視隱含條件等問題。為了解決這些問題，筆者做了如下思考。

（一）幫助學生樹立平面向量的工具意識

近代數學中，解決三角函數、平面幾何和函數問題時都以向量為媒介。有了向量，平移、垂直、相似、勾股定理等概念就轉化成了向量的加減法運算、數量積運算等，從而實現將圖形的基本性質向向量的運算體系的轉換。教師在教學中應強調向量在解決實際問題時發揮的舉足輕重的工具作用。比如，平面幾何中的向量方法；用向量方法來推導兩角差的余弦公式等，都體現了向量的重要的數學工具地位。教師應該幫助學生樹立平面向量的工具意識，掌握以向量為工具解決數學問題的基本方法。

（二）引導學生體會向量法的基本實質

平面向量既具備代數的抽象性又顯現出幾何的直觀性。求解平面向量的考題實際上就是研究數與形的轉換。教師在教學中應該廣舉實例，教會學生認清向量及其運算規律與幾何圖形之間的聯系，通過向量運算，研究幾何元素之間的關系。幫助學生建立利用向量的代數解決幾何問題的基本思想。

綜上，平面向量在考查過程中通常會與三角函數、平面幾何以及函數相結合，對學生的綜合能力要求較高。掌握平面向量“數形結合”的特點，樹立向量的工具意識，將會讓學生在解答相關試題時覺得得心應手，游刃有余。

參考文獻：

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[2]王紅革，許志勇，沈婕.高考中“平面向量”測試對教學的反撥效應分析[J].考試研究，2012.