“問題鏈”在研究函數的對稱性與周期性中的應用

吳興

摘 要：新課標提倡“以問題為中心”，由此衍生出來的以問題為線索、以探究為基礎、以解決問題為目的的“問題鏈”探究式教學模式受到了很多師生的認可和推崇。在對“問題鏈”概念的理解與“問題鏈”的設計策略介紹的基礎上，結合一道高考題，探析了“問題鏈”在研究函數的對稱性與周期性中的應用。

關鍵詞：問題鏈；中學數學；函數；對稱性；周期性

一、對“問題鏈”的理解

所謂“問題鏈”是指教師為了實現一定的教學目標或教學任務，在了解學生已有知識結構或經驗水平的基礎上，就學生在學習過程中可能遇到或將要產生的疑惑，把教學內容轉化成具有梯度、具有系統性且契合學生心理特征的一串串的教學問題。以主問題為中心，再在主問題上衍生出很多有序列且相對獨立而又相互關聯的“問題鏈”。

傳統的問題往往只注重問題的分析與解決，其問題設計往往忽視了問題的再生性，學生的參與度也較低。但“問題鏈”是一個有機的整體，各問題間像一條鎖鏈一樣把問題和教學目標緊緊連在一起，環環相扣、層層遞進、步步深入。把教學內容編織成一組組、一個個彼此關聯的問題，使前一個問題成為后一個問題的前提，后一個問題作為前一個問題的繼續或結論。這樣每一個問題都成為學生思維的階梯，許多問題共同形成一個具有一定梯度和邏輯結構的“問題鏈”。因此，采用“問題鏈”式教學，一方面能有效提高學生學習的主動性、積極性和參與度，能提高其思維能力；另一方面有助于老師業務素質和能力的提高，有助于數學教研工作的深入。

二、“問題鏈”的設計策略

“問題鏈”的設計策略是為了實現某一個任務目標，依據可能出現的問題預設對應的方案，在實現目標的過程中，根據形勢的發展和變化來制訂、調整方案并依據實際情況選擇相應的方案，最終實現目標，為“問題鏈”的設計提供了一個方向性的“指南”。好的策略可以為“問題鏈”設計提供好的方法論指導，幫助我們設計出高質量的問題。結合自身教學實踐，我認為“問題鏈”的設計通常主要有以下策略：

1.通過試驗、觀察、歸納設計“問題鏈”

通過試驗、觀察、歸納設計“問題鏈”是指從實際問題出發，通過分析設計，建立數學模型，再借助現代技術工具或親自動手操作試驗獲得具體可靠的數學事實，再經過觀察、思考、分析所得數學事實，提煉出其中隱含的更一般性的結論，并對其加以猜想論證。

2.通過聯想、類比、遷移設計“問題鏈”

通過聯想、類比、變式設計“問題鏈”就是要把未知數學對象和類似的已知數學對象進行比較，進而根據已知數學對象的性質聯想類比出未知數學對象的性質的方法。老師針對未知問題以某個已知知識點為中心，從不同側面、不同角度設置“問題鏈”。一方面幫助學生厘清模糊的、辨別錯誤的認識，加深對知識的理解，使學生從整體上把握數學知識的內在聯系；另一方面通過聯想、類比、遷移更能培養學生的推理和思辨能力，幫助學生開拓思維，舉一反三，融會貫通。

3.通過變換條件或結論設計“問題鏈”

著名數學家布朗和瓦特曾提出用“否定假設法”來設計問題，即在對原問題的條件和結論進行思考后再自由改變其條件和結論從而產生新的問題。這里的通過變換條件或結論設計“問題鏈”是指既改變條件又改變結論來提出問題，也可以是不改變條件而只改變結論來提出問題，甚至還可以是不改變結論只改變條件來提出問題。因此，它比“否定假設法”概括性更強，應用范圍更廣，在提出問題方面更有效。

三、在研究函數的對稱性與周期性上的應用

下面選取課堂實錄中的一個片段，嘗試把理論運用到具體的教學實踐中去，利用“問題鏈”的設計理念與策略，以指導具體的教學問題設計。

1.引入

通過“問題鏈”，師生共同探討，反復修正，教師不要著急給出結論，讓學生自己歸納整理出關于f（a+x）=±f（b±x）一般性的規律

小結：（學生口述，老師板書，如某一學生回答得不完整，可由其他學生補充）

①當x的系數相同時，函數f（x）具有周期性；

②當x的系數相反、y的系數相同時，函數f（x）的圖像具有軸對稱性；

③當x的系數相反、y的系數相反時，函數f（x）的圖像具有中心對稱性。

問題設計到這里，此時也無法解決條件f（-x）=2-f（x）帶給我們的具體信息，通過上述歸納，可以猜測函數f（x）大致符合上述情況③，即函數f（x）的圖像具有中心對稱性。

于是教師再次設計新的問題

問題8：再次改變條件，由f（a+x）=-f（b-x）+c，我們又可以得到函數f（x）的圖像具有什么性質？

學生活動：通過類比問題7的證明過程，學生不難得出函數f（x）的圖像仍具有對稱性，對稱中心為（ ）。

（返回開始的問題予以解決，完成本片段的學習任務。）

以上8個問題把一個較難的條件分解成幾個聯系密切、層次分明、梯次增加難度的問題，形成了一串循序漸進的“問題鏈”，從特殊到一般，由易到難。本片段“問題鏈”的設計既用到聯想、類比、遷移設計“問題鏈”的策略，又用到變換條件設計“問題鏈”的策略，它一方面體現了數學知識發展的層次性；另一方面也滿足了不同層次學生的需求，給了學生成功的可能性。問題1、4入口較寬，比較容易回答，大部分學生都能順利完成，有助于激發學生的學習興趣，問題2、3、5、6、7依次加大難度。通過對前面問題的總結提煉，使學生認識到關于f（a+x）=±f（b±x）的一般性結論。問題8是為了解決本道高考題而將結論做了推廣提升，最后回歸到題目本身，使問題迎刃而解。

參考文獻：

[1]王婷.高中數學課堂問題鏈的設計[D].揚州大學，2012.

[2]楊慧.高中數學教學的“問題鏈”研究[D].上海師范大學，2012.

[3]王后雄.“問題鏈”的類型及教學功能：以化學教學為例[J].教育科學研究，2010（5）.

[4]劉俊.淺談函數的對稱性與周期性[J].語數外學習（數學教育），2012（8）.