定點定線運動放縮的軌跡問題及推廣

張子晨

【摘要】幾何學，自古一直是數學中的一個重要分支.而在古代柏拉圖學院門前更是立有“不懂幾何學不得入內”的牌子.軌跡問題，歸屬于幾何中，在平面幾何，立體幾何，解析幾何中均有涉及.關于軌跡，可以說是點的軌跡，具有某種性質的點的集合，叫作具有這種性質的點的軌跡[1].本文通過從簡單的初中題目入手，將之用純幾何的方法推廣，猜想并用幾何畫板軟件進行試驗最終進行證明在平面內幾何圖形運動放縮的軌跡問題.

【關鍵詞】幾何學；軌跡；純幾何方法；定點定線；運動放縮；推廣；猜想；幾何畫板；證明

幾何中的軌跡問題，將靜與動相結合，通過點與線的運動，放縮凸顯出數學之美.自古以來，對軌跡的研究就沒有停止，體系也日趨完善.軌跡的定義：滿足某種條件C的一切點所構成的圖形F稱為符合條件C的點的軌跡.而要證明一個軌跡，即為判定一個圖形F是符合條件C的點的軌跡，必須從兩個方面去證明：通過證明符合條件C的所有點都在圖形F上來說明完備性以及通過證明圖形F上的點都符合條件C來說明純粹性.[2，3]對于軌跡的研究，解析幾何中設計最多，通過用坐標系的方法，確實便于想出，較為快速地達到最終的證明目的.但本文想通過最基本的純幾何方法，巧妙地將問題由繁化簡.在研究軌跡的過程中，不少文章以及書籍研究的是運動軌跡，即在線或圓上運動而產生的變化.本文另辟蹊徑，設想將點、線、圓甚至復雜圖形的運動與圖形的放縮結合起來，使所有的圖形都在有規律地運動著.而本文，就是動中取靜，將看似毫無關聯的運動放縮結合起來，巧妙的尋找其中的軌跡問題.

大部分學生都做過這樣一道題：如圖1所示，矩形ABCD中，BC=8，Q在線段BC上移動，以AQ為一邊作等邊三角形AQP，求在Q移動過程中，△AQP形狀保持不變，P的運動長（軌跡長）.

由此再回看原題，便簡單了許多，由于三角形為等邊三角形，頂角的夾邊比恰為1，代入公式3，直接可得P的軌跡長等于線段BC，即為8.當然，在原題中，我們只需要做出特殊位置的等邊三角形，在任取一點作三角形，即可說明.

剛剛探究的可總結為，三角形中，直線外一定點，直線上一動點，在運動過程中另一點的軌跡問題.而觀察PAB會發現在運動過程中也是進行放縮變換的，但是其軌跡確實一定的.

再看另一道比較經典的題目：如圖4所示，⊙O外一點P，A在⊙O上，取AP中點M，求A在⊙O運動時M的運動軌跡.

對于這道題目，最好想也是用得最多的解法是運用解析法，通過對M滿足的方程分析，發現是圓的方程，即可證明M的軌跡為圓.但是解析法是有局限性的，除了過程及計算煩瑣而失去了幾何本身的美之外，若是進行推廣，M不是中點，或者AMP不為直線，那么運用解析法無疑會增添更多的計算量.而我們運用純幾何方法，使問題迎刃而解.

先看這道題：已知，A在⊙O上運動，P為⊙O外一點，AM=MP，求M軌跡.

此時對于軌跡與軌跡之間夾角，形狀的研究已經比較完善了.至此，不管如何變化，定點定線三角形運動，運動過程中會有放縮的問題基本可以用相似的解決方法來解決，除了軌跡本身的確定及形狀意外，發現軌跡與軌跡之間也是有關系的，包括與邊的夾角，軌跡與軌跡的夾角等.

結 論

本文通過運用純幾何方法，簡單而巧妙地猜想并證明了任意圖形按照上述方式放置，在任意圖形l上均有對應軌跡g，圖形l與圖形g相似.若定長，則l與g有比例關系，且此比例與其原圖形有關.若有多個g圖形（相似）可任意方式排列（相對、同向等）則均滿足平行或夾角為定值.隨著軌跡學研究的深入，已經很少有像本文一樣運用純幾何方法，來解決復雜問題.相比較于解析方法，無疑在推廣以及證明過程中都起到了至關重要的作用.

【參考文獻】

[1]楊榮祥.略談中學平面幾何軌跡問題[J].數學教學，1955（1）：23-27.

[2]蕭振綱.幾何變換與幾何證題[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2010.

[3]沈文選，楊清桃.幾何瑰寶[M].哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2010.