割補(bǔ)法在數(shù)學(xué)解題中的妙用

宋培武

割補(bǔ)法在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用廣泛.其中的“割”是指對(duì)某圖形進(jìn)行分割；“補(bǔ)”是針對(duì)某特殊圖形的缺失進(jìn)行補(bǔ)充.“割”與“補(bǔ)”常常是同時(shí)發(fā)生，有時(shí)也單獨(dú)發(fā)生.“割補(bǔ)”的目的是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題由一般圖形向特殊圖形、由陌生領(lǐng)域向熟悉領(lǐng)域轉(zhuǎn)化，它是“化歸思想”的具體體現(xiàn).這一思想不僅應(yīng)用于幾何解題，也被遷移到代數(shù)解題中.

一、幾何題型

（一）只“割”不“補(bǔ)”

例1 在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°A=135°，AD=2，BC=6.

求四邊形ABCD的面積.

說明：1.分割：過A點(diǎn)作AE∥BC交CD與E點(diǎn)，過E點(diǎn)作EF∥AB交BC與F點(diǎn).

2.化歸：將不規(guī)則四邊形（四邊形ABCD）的面積問題轉(zhuǎn)化為特殊四邊形（矩形ABFE）和特殊三角形（等腰直角△ADE和等腰直角△EFC）面積問題.

3.解法：先求等腰直角△ADE的相關(guān)的邊和面積，再求矩形ABFE的相關(guān)的邊和面積，然后再求等腰直角△EFC的面積，最后求四邊形ABCD的面積.

（二）只“補(bǔ)”不“割”

仍將上述例題作為問題背景.

說明：1.補(bǔ)缺：延長線段BA，CD交于E點(diǎn)，將不規(guī)則四邊形補(bǔ)成等腰直角三角形.

2.化歸：將不規(guī)則四邊形的面積計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形的面積計(jì)算問題.

3.解法：分別計(jì)算等腰直角△ADE和等腰直角△EFC的面積，再做差.

（三）既“割”也“補(bǔ)”

繼續(xù)以上述例題作為問題背景.

說明：1.割補(bǔ)：在線段BC上取一點(diǎn)F，使FC=2，過F點(diǎn)作FG∥AB交CD與G點(diǎn).易證△GFC≌△ADE，從而將△GFC“割下”，補(bǔ)在△ADE處.

2.化歸：將不規(guī)則四邊形的面積計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為直角梯形的面積計(jì)算問題.

3.解法：利用梯形的面積公式計(jì)算即可.

二、代數(shù)題型