圓周及弧的實用精確等分

黃正洪

人們不能用尺規對圓周和弧作任意等分，對此我曾在CIP為2015185547的《費馬大定理的一個初等證明》的《試論作圖題的重要性》一文中敘述為：用尺規作圖的方法，我們只可以對圓周進行二等分、三等分、四等分、五等分及這些等分的2n倍等分……我們不能對圓周進行七等分、九等分、十一等分、十三等分……此言下之意即為，圓周和弧的尺規等分一直都在困擾著人們的思緒，但是在工程實踐中，此一問題的存在又是一個實實在在的大問題，且一直到現在為止，人們借助等分工具也還是沒有一種完全有效的辦法能夠徹底解決此結之憂.故有需要之時，人們不得不采用估算、測量、逼近或近似作圖的方法去權宜面對，而權宜面對的結局往往不令人滿意.究竟有沒有切實可行的手段能突破這個數學王國里遺留的難題呢？有道是山不轉水轉，既然在二維的平面上不能用尺規作圖的方式去圓我們的圓周和弧的精確等分之夢，那么我們就另辟蹊徑去通向光明.眾所周知，圓錐體及其想象延伸體的表面包含了天下所有的圓周和弧，它們在三維空間里的呈現是那么的光彩奪目，是那么的脈脈含情，就讓我們從這緣分里開始探索吧，精誠所至必能金石為開.

一、準備一個頂角為60°、高為200的正圓錐體，由于確定了錐頂角為60°，知正圓錐體的正面投影是一等邊三角形，進而知此圓錐體的母線之長剛好與底圓直徑相等，規定此圓錐體能沿其鉛垂軸心線能作上下平移.我們把這樣一個圓錐體叫作等分工具錐.

二、準備一根已標記有n個等分點的專用細線，將其首尾重疊，然后固定細線的多余部分，這樣就形成了一個邊長相等的任意n邊形，規定這個n邊形的邊長之和不得超過工具錐底圓的周長.

三、將任意n邊形套在等分工具錐上.

四、將一個直徑為30、長為200、用軟材料制成的薄壁圓柱開口刷懸置于工具錐鉛垂軸心線的正上方，且確定此圓柱開口刷的每一刷片受力時能同時均等向外側沿錐面闊開而形變成錐臺.

五、將工具錐沿鉛垂軸心線向上平移，此時圓柱開口刷因被動受力而壓實了任意n邊形.由圓柱開口刷的加工制作和同軸受力而變形的情形，我們能證得這個任意n邊形所處的平面與工具錐底面平行.于是知這個n邊形此時已型變為了一個名副其實的圓，從理論上來說，專用細線上的n個等分點已精確的等分了此圓周而產生了n段相等的孤，我們把這個型變為圓的圓叫作等分基準圓.

以上五點是圓周精確等分的理論基礎，有了工具錐就有了精確等分圓周的能力.這種能力是有限的，我們可以對其進行具體操作，也是無限的，我們可以將其工作過程中的一部分進行想象操作.此法中的巧妙在于：獲得了基準圓上的n個等分點以后，即可做出過這些等分點的圓錐的母線，由于所有母線都可以任意延長，故我們可以將欲等分的圓周定義為任意大.由于延長后所形成的想象棱面三角形與原錐體上的局部剖視的棱面三角形相似，于是可根據相似三角形對應邊的比例而求得最終結果.說到這里，我相信您不會懷疑我們能精確等分您所給出的任意直徑和任意段數的圓周了吧.我們的結論是：如果您所給的欲等分的圓周是一個實實在在的圓，則可將工具錐沿鉛垂軸心線向上平移而將該圓壓實在圓柱開口刷下，由于已做出了基準圓周的所有等分點的母線，故欲求圓環與母線的所有交點即為所求；如果您給出的圓周是非實物的（即只已知圓心和直徑），則可將此直徑作為半徑，以錐頂點作為圓心畫弧，其弧同時交兩相鄰母線于兩點，連接此兩點，則此兩點之長即為欲求圓周的內接正n邊形的邊長，而此正n邊形的所有角點即為所求；如果您給出的欲等分圓周大于了圓錐的任何圓截面，則將其中相鄰兩條母線延長使其與欲等分圓周的直徑相等，連接此兩延長線的端點，則此兩端點之長即為欲等分圓周的內接正n邊形的邊長，而此n邊形的所有角點即為欲等分圓周的n個等分點.下面我們來看工程實例.

例1 福建永定有修建圍屋的傳統，為了防范倭寇入侵，村民將圍屋的出入口巧妙地安排在中央公共用地的地下秘道之中，而圍屋則圍環而建，其形與鐵桶相似，這樣的建筑進可攻、退可守，敵人根本進不來.當年工匠們要將外圍直徑100米，內圍直徑80米的同心圓環內的土地均勻地分配給49個家庭建房.將怎么樣來分配這些土地呢？這里我將工匠們當時的操作過程簡述如下：

1.用專用細線制成一個邊長相等的任意49邊形，將這個49邊形套在等分工具錐上.

2.將工具錐沿鉛垂軸心線向上平移，此時圓柱開口刷被動受力而壓實了專用細線任意49邊形，于是此49邊形變成一個平行于錐底的基準圓，而細線上的49個等分點則成為基準圓周的等分點.

3.作相鄰兩等分點的母線，并將其延伸（這個延伸的工作也可移到平地上進行，如果場地有限的話還可想辦法分段進行），使其長度剛好等于內圓直徑80米，連接此無形圓錐的相鄰母線上的有型兩個端點，則兩個端點的連線之長即為同心內圓的內接正49邊形的邊長，將所有過此49邊形頂角位置的半徑延長到與大圓相交，則所有49段環塊即為所求（其證明過程留給同學們自行思考）.

工人師傅們把“3”的工作過程叫作放大樣，放大樣在各種不同情況下都可能會用到，但有平面幾何知識的工人師傅馬上會想到這一結果也可用數學的方法求得.譬如就此例而言.我們沿工具錐兩相鄰母線作局部剖就會看到正n棱錐的一個三角形棱面，此棱面三邊之長都為已知，由于延長的邊也為已知，則根據相似三角形的相似比而可求得結果.即：工具錐母線長比延長錐母線長=基準圓等分弧的弦長比欲求圓等分弧的弦長（其中延長錐母線長即為欲求圓直徑）.不過如此求解的結果有的可能難于畫出，還不如放大樣這種實用畫圖來得實在.但放大樣若太大，則過程就會繁雜，此時就只好采用計算的方法.總之此一圓周的等分很是實用，也很精確，我們要熟記之.在工程實踐中還有許多其他等分方法可用，留給同學們自己去發現.有道是技藝一通則百通，我們既然明白了利用工具錐能全面地解決圓周的精確等分問題，那么弧的實用精確等分問題也就不在話下了，或者說在前述等分方法下，我們就有了拓展的思路和方案的啟迪.

例2 已知有一大片扇形的薄鐵板，工程需要要將其分成形狀完全相同的7片，用以來加工碎草農機的7個葉片.面對這樣的一個問題，我們的工人師傅有一種傳統且實用的精確等分方法.這里我將這一操作過程整理如下，請諸君指正：

1.在紙上畫一條適當長的直線.

2.在扇形薄鐵板的弧邊上漆上紅色印泥.

3.從弧邊的一個端點開始沿直線向前滾動，滾動到弧邊的另一個端點為止，此時在紙的直線上留下了紅線印記，顯然此紅線即為扇形薄鐵板的弧邊的實長線.

4.用尺規作圖的方法將此紅線分作7等分，并將此7等分點一一做出明顯標記.

5.按第一次滾動的方式，端點對端點，第二次滾動扇形薄鐵板的弧邊，這次是沿紅線方向前進，現在我們可在扇形薄鐵板的弧邊上一一標記下紅線上的7個等分點.

6.作扇形頂點與這些等分點的連接線，則扇形薄鐵板被分成形狀完全相同的7片（其證明過程留給同學們自行思考）.

我們的工人師傅把這個工作過程叫作印記法.“印記法”在各種不同情況下都有可能會要用到，當然此法在很多情況下同樣也可借助數學的方法求得，但其精準欠佳，故工人師傅常喜歡直接用印記法求對應的點、線、面.總之“印記法”和“放大樣”是工程領域中的常用之法，是實用精確n等分圓周和弧的不可或缺的方法，這些方法雖無資料可查，卻在工廠師徒之間代代口口相傳，我們不可小視之.我之所以要鄭重其事地撰寫此文，也是想要求得大家對這種實用等分過程的理解和認同，去有益于我們今后的生產實踐.我盼念諸君在審閱過此文之后，能為我們學專業技術的學生、為我們愛動手和動腦的學生去做細心演示和傾情引領，我想這為學生們心中的科學之門的開啟不無助益，也許您的興致所至，會使我們的學生、我們的子女愛上平面幾何，愛上立體幾何、愛上工程設計，而成為優秀的專門人才.因為我知道，在這樣一個比較獨特的學習園地里，我們學生求知的信心是建立在科學操作的基礎上，而科學操作的能力是發芽于長期的實習教學之中，對此教學情結我有著深刻的感受.記得我曾在實習教學時期表彰過一個對上述習題提供了另一種解題途徑的學生.由于她的方法很有特色，我至今記憶猶新.現敘述如下：

1.將扇形薄鐵板卷起，使兩根邊母線重合而形成一個頂角不知為幾何的圓錐（如果薄鐵板卷不動，可改在一同型紙上進行）.

2.將邊長相等任意7細線邊形套在此圓錐之上，并使其在圓柱開口刷的軸線下作同軸上升平移.此時細線邊形變成了一個平行于錐底圓的基準圓，細線上的7個等分點變成圓周上的7個等分點.

3.過這些等分點作圓錐的7根母線.則形狀完全相同的7片薄鐵板可沿這些母線剪出（其證明過程留給同學們自行思考）.

該學生在吃透“例1”之巧后，由平面出發去建立起立體模型來解題，這是逆向思維下舉一反三的神來一筆.如此別出心裁的解題思路，如此清晰高明的解題技巧，真叫人佩服.我雖為人師，愿從其而學.讓我們師生且思且想且寫且做而共同努力吧.我愿無拘無束、海闊天空的想象力在我們學生的腦海里自由馳騁.我愿學生們在良好的環境下，在教師和家長的關愛之中，學業有成而終成國之大器.