裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

崔禹

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)一個(gè)非常重要的內(nèi)容，數(shù)列求和是數(shù)列題目中的常見(jiàn)題型，公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法等是數(shù)列求和的通用解法，其中裂項(xiàng)相消法是數(shù)列求和中的非常重要的方法.裂項(xiàng)相消法主要是把數(shù)列中的每一項(xiàng)分裂為兩項(xiàng)或多項(xiàng)的形式，在后續(xù)的運(yùn)算中相互抵消，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)列求和.很多裂項(xiàng)相消的題目，數(shù)列通項(xiàng)會(huì)以分式的形式給出.在解題的過(guò)程中，需要根據(jù)具體的題目類型進(jìn)行裂項(xiàng)，注意系數(shù)與計(jì)算最終的剩余項(xiàng).

一、分子、分母都是常數(shù)或者普通等差數(shù)列的分式類型

這類問(wèn)題最基本的裂項(xiàng)相消法求數(shù)列和，最簡(jiǎn)單、最易理解，也是高中數(shù)學(xué)中最常出現(xiàn)的.

通過(guò)例3的解決，我們注意到裂項(xiàng)求和過(guò)程中，未必是相鄰兩項(xiàng)的前后分拆項(xiàng)相互抵消，有可能是隔項(xiàng)相互抵消，一定注意到最后剩余的項(xiàng)，一般而言，前面剩余幾項(xiàng)，后面就會(huì)剩余幾項(xiàng).

綜上所述，在分式數(shù)列裂項(xiàng)相消求和過(guò)程中，一是注意分解項(xiàng)時(shí)要乘系數(shù)，二是最后求和過(guò)程中一定注意剩余的項(xiàng).

二、分子、分母為根式形式，可用分母有理化形式進(jìn)行裂項(xiàng)

裂項(xiàng)相消未必只解決非常簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式分式裂項(xiàng)，對(duì)于一部分根式形式的數(shù)列分式也可以使用.

例4 已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1n+n+1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

分析 本題目分母是兩個(gè)根式，而這兩個(gè)根式實(shí)際上是數(shù)列n的連續(xù)兩項(xiàng)，所以可以用分母有理化的形式把a(bǔ)n拆開(kāi)裂項(xiàng)，從而實(shí)現(xiàn)抵消后求和.

本題目是觀察分子和分母之間的關(guān)聯(lián)，主要在于分拆分母，構(gòu)造分子，得到系數(shù).

在裂項(xiàng)求和的過(guò)程中，注意裂項(xiàng)的合理化，如果裂項(xiàng)不合理，會(huì)增加很多計(jì)算量甚至出錯(cuò).

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