一題多思走出題海

王進(jìn)

課程改革已進(jìn)行了十多年，現(xiàn)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)都能重視知識的形成過程，關(guān)注數(shù)學(xué)知識的思想和方法，但由于教學(xué)評價(jià)的指揮棒仍然是分?jǐn)?shù)至上，很多數(shù)學(xué)教學(xué)還是陷入題海戰(zhàn)，很多復(fù)習(xí)課成了習(xí)題課，學(xué)生成為刷題機(jī)器，如何以有限的習(xí)題分析達(dá)到“以點(diǎn)代面”的效果，讓教師跳進(jìn)題海，讓學(xué)生能上岸？筆者通過幾道典型的習(xí)題的分析，嘗試“低起點(diǎn)、多角度、多層次”分析題例，將數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)習(xí)題效果最大化，從而達(dá)到“事半功倍”的效果.

一、同一題目多個(gè)策略

例1 把一個(gè)兩位數(shù)A的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換得到一個(gè)新數(shù)B，計(jì)算A+B.對所有的兩位數(shù)A，A+B有什么規(guī)律？請解答.

解題的策略 （1）不完全歸納法（合情推理）：通過舉例.例如，12與21，37與73，44與44等，至少三個(gè)，通過觀察并猜想.

（2）完全歸納法：枚舉法、窮舉法.由于符合以上情況的數(shù)據(jù)不算特別多，可以將所有符合以上的情況一一枚舉出來.

（3）代數(shù)推理論證方法：設(shè)A=10a+b，B=10b+a，A+B=（10a+b）+（10b+a）=11（a+b）.

點(diǎn)評 本題原型來自北師大初中數(shù)學(xué)教材課后習(xí)題，是一道代數(shù)推理題，但解題的方法不唯一，針對不同階段、不同基礎(chǔ)的學(xué)生可以有不同的處理方式.

（1）方法對比：

不完全歸納法：本種方法對學(xué)生的知識能力要求較低.以一定數(shù)量的事實(shí)做基礎(chǔ)，進(jìn)行分析研究，找出規(guī)律.通過觀察、猜想，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律的能力.但由于不完全歸納法是以有限數(shù)量的事實(shí)作為基礎(chǔ)而得出的一般性結(jié)論.這樣得出的結(jié)論不具有一般性，甚至有時(shí)可能不正確.所以，該方法適合學(xué)生學(xué)習(xí)新知識時(shí)使用.

完全歸納法：對要解決問題的所有可能情況，一個(gè)不漏地進(jìn)行檢驗(yàn)，從中找出符合要求的答案，因此，枚舉法是通過犧牲時(shí)間來換取答案的全面性.

代數(shù)推理論證方法：本種方法對學(xué)生要求高一些，主要通過數(shù)據(jù)處理和邏輯推理來使問題獲解或獲證.

（2）對比的價(jià)值：通過以上方法的分析和對比，能讓教師對知識的體系、結(jié)構(gòu)有更深層的理解，讓學(xué)生也能感受知識的發(fā)生、發(fā)展過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)符號感，進(jìn)而感受到用“字母表示數(shù)”的重要性和必要性.

二、同一條件多個(gè)層次

【提出問題】正多邊形與圓有什么關(guān)系？

例2 正多邊形與圓的關(guān)系之一是教材里的正多邊形內(nèi)接于圓.現(xiàn)已知正三角形（圖1）、正十二邊形（圖2）均內(nèi)接于半徑為r的圓.

【層次一】（1）求出圓內(nèi)接正三角形的邊長、邊心距和中心角的大小；

【層次二】（2）當(dāng)邊數(shù)一倍又一倍地增加時(shí)，正多邊形的周長與圓周長逐步接近，請用正十二邊形的邊長代替外接圓周長，計(jì)算圓周率的近似值（近似到小數(shù)點(diǎn)后兩位）；

【層次三】（3）正多邊形與圓的關(guān)系之二是如圖3所示的圓內(nèi)切于正多邊形，根據(jù)圖3，提出一個(gè)一般性問題并得出一個(gè)結(jié)論，證明你的結(jié)論正確與否.

參考答案 （1）邊長為3r，邊心距為12r，中心角為120°.

（2）不妨設(shè)圓的半徑為1，則正十二邊形一邊為122+1-322=2-3=6-22，

從而π≈3（6-2）≈3.11.

（3）可以考慮幾個(gè)元素（從數(shù)值方面考慮：內(nèi)切圓半徑、內(nèi)切圓面積、內(nèi)切圓面積與正多邊形面積關(guān)系等；也可以考慮圖形性質(zhì)方面：內(nèi)切圓的存在性、內(nèi)接圓與外接圓圓心重合且都是正多邊形的中心等）.

點(diǎn)評 該題也是以教材習(xí)題為原型，進(jìn)而拓展和延伸，最后讓學(xué)生提出一個(gè)數(shù)學(xué)問題并解決.是一道綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、研究問題的能力的題.

（1）第一問（第一層次）是在理解邊心距、中心角等數(shù)學(xué)基本概念的前提下進(jìn)行簡單的運(yùn)算，知識難度屬于較易題.

（2）第二問（第二層次）是在理解基本概念的基礎(chǔ)上，研究圓與內(nèi)接正十二邊形的關(guān)系，本問也提供了一種研究圓與其內(nèi)接正多邊形關(guān)系的方式（從定性到定量）：以內(nèi)接正多邊形周長代替圓周長，觀察計(jì)算π與實(shí)際值的關(guān)系，從而發(fā)現(xiàn)正多邊形邊數(shù)較多時(shí)其周長接近于對應(yīng)圓.

（3）第三問（第三層次）是在前面研究問題的前提下，提出一個(gè)一般性的問題，并參考前面的解決方式來分析問題.本問提出數(shù)學(xué)問題—形成解題思路—得到數(shù)學(xué)結(jié)論，是一個(gè)較高要求的問題.

三、同一問題多個(gè)素材

【提出問題】“圓”和“拋物線”作為初中階段研究的兩種弧線，“圓弧（劣弧）是特殊的拋物線嗎？”

【研究策略】研究思路可以用同一個(gè)實(shí)際背景，同樣的數(shù)據(jù)，以兩種不同的曲線來計(jì)算同一實(shí)物長度，對比結(jié)果差異.

素材一 （廣東佛山2005年中考試題）一座拱形橋，橋下的水面寬度AB是20米，拱高CD是4米.若水面上升3米至EF，則水面寬度EF為多少？

點(diǎn)評 （1）從數(shù)學(xué)研究問題的方式來研究：數(shù)學(xué)解題與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)一樣，通常都是在通過類比、歸納等探測性方法進(jìn)行探測的基礎(chǔ)上，獲得對有關(guān)問題的結(jié)論或解決方法的猜想，然后再設(shè)法證明或否定猜想，進(jìn)而達(dá)到解決問題的目的.類比、歸納是獲得猜想的兩個(gè)重要的方法.

（2）圓與拋物線作為初中階段的兩種重要的曲線.以上提供了兩個(gè)素材讓學(xué)生學(xué)會(huì)辨析，拋物線是二次函數(shù)圖像，所以結(jié)合二次函數(shù)圖像相關(guān)知識解決.圓弧是圓的一部分，所以應(yīng)該依據(jù)圓的相關(guān)知識：垂徑定理、勾股定理等.

數(shù)學(xué)每個(gè)階段的知識點(diǎn)是有限的，學(xué)生每個(gè)階段的學(xué)習(xí)時(shí)間也是有限的，但是數(shù)學(xué)習(xí)題的數(shù)量卻是無限的，不能讓每個(gè)階段的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課變成習(xí)題課，讓學(xué)生變成刷題機(jī)器，應(yīng)該學(xué)會(huì)“精選題、多歸納、勤思考”，讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)變得高效而輕松.