高數(shù)微積分思想的實踐運用分析

張哲龍

【摘要】微積分是高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，是高等數(shù)學(xué)的精髓和靈魂.隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進步，高數(shù)微積分思想在生活中的運用不斷得到普及，為各個領(lǐng)域和學(xué)科的問題的解決提供了便利.

【關(guān)鍵詞】高數(shù)；微積分思想；實踐運用

一、高數(shù)微積分思想的基本理念簡介

微積分是高等數(shù)學(xué)的重要分支，是建立在實數(shù)、函數(shù)以及極限等數(shù)學(xué)板塊的基礎(chǔ)之上的，它是以研究函數(shù)變化規(guī)律為目的的一門基礎(chǔ)學(xué)科，主要運用到的數(shù)學(xué)工具就是微分和積分.

（一）微分的基本思想

微分是對函數(shù)的局部變化率的一種線性描述.微分學(xué)的基本思想是“無限細分”和“等效替代”.其幾何意義可以這樣來表述：設(shè)函數(shù)y=f（x），假設(shè)函數(shù)上有一點A，當(dāng)點A在沿著橫坐標(biāo)移動Δx時，其在縱坐標(biāo)上的變化范圍為Δy.特別的是，當(dāng)A的移動范圍足夠小時，A點的縱坐標(biāo)的變化值Δy與該點的切線的變化距離dy之間的差值|Δy-dy|比|Δy|要小得多，于是便可以將A點附近的一個切線段用來近似替代原函數(shù).運用微分近似替代的思想可以使復(fù)雜的問題簡單化，提高解決問題的效率.

（二）積分的基本思想

積分是在確定函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)基礎(chǔ)上通過一定的數(shù)學(xué)方法對原函數(shù)進行求解的過程.微分是對函數(shù)的求導(dǎo)過程，于是又可以將積分看成是微分的一個逆向過程.積分還可以分為兩部分.第一種，是單純的積分，也就是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)，而若F（x）的導(dǎo)數(shù)是f（x），那么F（x）+C（C是常數(shù)）的導(dǎo)數(shù)也是f（x），也就是說，把f（x）積分，不一定能得到F（x），因為F（x）+C的導(dǎo)數(shù)也是f（x），C是任意的常數(shù)，所以f（x）積分的結(jié)果有無數(shù)個，是不確定的，一律用F（x）+C代替，這就稱為不定積分.而相對于不定積分，還有定積分，它積分后得出的值是確定的，是一個數(shù)，而不是一個函數(shù).同時對于多元函數(shù)而言，還會有二重積分、三重積分等，其解決問題的基本思想都是通過積分的“無限求和”來進行的.

二、高數(shù)微積分思想解決實踐問題的重要性

（一）提高問題解決的效率

作為高等數(shù)學(xué)的重要組成部分，微積分的思想方法可以很好地運用到經(jīng)濟、管理活動中去，提高其在數(shù)據(jù)運算上的效率，減少因為依靠人工計算帶來的時間和資源的浪費，提高資源的利用效率和數(shù)據(jù)運算的準(zhǔn)確性.

（二）提高決策的科學(xué)性

將微積分思想運用于人們的生活實踐中，可以促使人們在其嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)思維和規(guī)范的數(shù)學(xué)體系中做出科學(xué)和準(zhǔn)確的判斷和決策.例如，對于企業(yè)的管理人員來說，正確的決策對于企業(yè)的發(fā)展有著很好的促進作用，而一旦由于個人主觀或者經(jīng)驗所產(chǎn)生的錯誤決策，將會給企業(yè)帶來嚴重的經(jīng)營問題，阻礙企業(yè)的發(fā)展.所以企業(yè)管理者在進行決策時要借助微積分這一數(shù)學(xué)工具，得出科學(xué)的決策結(jié)論.

三、高數(shù)微積分思想在實踐中的具體運用案例

（一）在經(jīng)濟領(lǐng)域中的運用

在經(jīng)濟活動中，高數(shù)微積分的運用較為普遍，主要用于解決邊際需求、邊際收益、邊際成本和邊際利潤、彈性分析等問題.企業(yè)管理者經(jīng)常會運用微積分思想來解決企業(yè)生產(chǎn)成本最低、利潤最大化的問題，從而促進企業(yè)收益的提高.以下將用一個具體的例子進行闡述.

某企業(yè)的產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為f（x）=100+2x，其中x表示企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量，其生產(chǎn)的固定成本為f（x0）為1 000元，該公司產(chǎn)品的售價為500元，那么，假設(shè)企業(yè)想要獲得最大的收益，該怎么進行生產(chǎn)安排？

可以運用微積分的思想進行解題：企業(yè)的成本函數(shù)為f（x）=∫x0（100+2x）+1 000+dt，總收益函數(shù)為R（x）=500x，接下來便可以利用微分思想確定利潤最大化時企業(yè)的生產(chǎn)產(chǎn)量，企業(yè)的利潤函數(shù)L（x）=R（x）-f（x）=-x2+400x-1 000，令L′（x）=0，由此便可以得出企業(yè)的利潤最大化下的產(chǎn)量為200件，與之對應(yīng)的最大利潤為3 900元.

（二）在物理教學(xué)中的運用

微積分在一定程度上是產(chǎn)生于物理，微積分誕生的標(biāo)志就是牛頓提出的“流數(shù)術(shù)”，因此，微積分與生俱來就被用于解決許多物理問題.微積分思想中的“無限逼近”等對于解決物理教學(xué)中所涉及的瞬時速度、加速度以及位移公式的推導(dǎo)具有重要作用.微積分運用在物理解題中也主要有兩種方法：一是取消元，即將陌生和較為困難的物理過程劃分成若干個趨于無限小的微元，從而將每個元過程劃分成為熟悉和易于理解的過程；二是在物理解題中一般采取將若干個元過程進行累加的求和方式，提高解題的效率.

（三）在其他學(xué)科中的運用

微積分的思想在其他學(xué)科中也有比較廣泛的運用.最明顯的就是在幾何教學(xué)中的運用，在求曲線的斜率和函數(shù)增量的近似值中都可以很好的利用微積分的思想來解題；其次，在醫(yī)學(xué)實驗中，利用高數(shù)微積分思想可以很好地計算一定時間內(nèi)細菌等的繁殖數(shù)量，提高醫(yī)學(xué)實驗的準(zhǔn)確性；微積分思想同樣可以運用到航空航天技術(shù)中，微分的求導(dǎo)和積分求原函數(shù)都可以對航天設(shè)備的運行速度等進行很好的監(jiān)測和控制，促進航天技術(shù)的發(fā)展.

四、結(jié)束語

在現(xiàn)代化生活中，數(shù)學(xué)思維已經(jīng)滲透在了人類生活的各個角落，微積分思想被廣泛應(yīng)用于物理、化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、天文學(xué)、力學(xué)、醫(yī)學(xué)、生活學(xué)、計算機等領(lǐng)域.隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，借助計算機將進一步提高微積分思想在各學(xué)科及實際生活當(dāng)中的應(yīng)用，這些實踐應(yīng)用是科技發(fā)展、社會進步的重要表現(xiàn).

【參考文獻】

[1]王嬌.淺談高數(shù)微積分思想及其在實踐中的應(yīng)用[J].科技視界，2015（14）：167.endprint