高等代數(shù)研究問題的基本方法與思路

呂宗彥

【摘要】高等代數(shù)是數(shù)學(xué)問題基本的解題工具，在理工科學(xué)中都有涉及高等代數(shù)求解問題，并且高等代數(shù)問題一般都有一定的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬓裕婕暗母拍罾碚搹?fù)雜.本文就高等代數(shù)問題的基本方法和思路做出以下闡述.

【關(guān)鍵詞】高等代數(shù)；基本方法；思路

高等代數(shù)是理學(xué)專業(yè)重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程之一，是對(duì)中學(xué)代數(shù)知識(shí)的繼續(xù)學(xué)習(xí)和進(jìn)一步提高，因此，掌握好高等代數(shù)在構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系有著重要的基礎(chǔ)作用.但是，由于高等代數(shù)研究問題非常注重公理化和嚴(yán)密的邏輯推理，從而使得高等代數(shù)問題比較抽象，給學(xué)習(xí)高等代數(shù)的學(xué)生帶來不少困難.本文就圍繞高等代數(shù)的基本概念結(jié)合高等代數(shù)內(nèi)容實(shí)例對(duì)研究問題的基本方法與思路做出詳細(xì)的探究.

一、高等代數(shù)的基本概念

學(xué)好代數(shù)學(xué)的首要問題就是要掌握理解并且能夠熟練應(yīng)用高等代數(shù)的基本概念.而代數(shù)學(xué)的基本概念多而雜，代數(shù)中涉及的基本概念有以下幾種內(nèi)容：多項(xiàng)式；行列式；線性方程組；矩陣；二次型；線性空間及線性變換.

二、代數(shù)問題研究基本方法及思路

（一）根據(jù)定義進(jìn)行研究

對(duì)研討的高等代數(shù)問題應(yīng)當(dāng)先給出準(zhǔn)確明了的定義，根據(jù)定義利用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?，逐步推理出代?shù)問題的性質(zhì)、定理以及推論，最后總結(jié)相似問題的具體研究方法建立研討體系.

比如，在高等代數(shù)的線性方程組中，一開始就定義了線性方程組的一般形式和解的相關(guān)概念，并且給出了線性方程組的解法以及有解的充分必要條件，然后又深層次的探索了齊次線性方程組和非齊次線性方程組，并講解其解法以及解的結(jié)構(gòu).這就說明了高等代數(shù)研究問題需要在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x下做出嚴(yán)密的推導(dǎo)，所以嚴(yán)格的邏輯推理是研究高等代數(shù)問題不可或缺的素養(yǎng).

（二）公理化方法

公理化方法在高等代數(shù)概念問題中占有重要作用，高等代數(shù)中公理是在用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评矸椒◤亩囗?xiàng)式、方程組、函數(shù)、向量、排列式、矩陣等具體的數(shù)學(xué)對(duì)象中，從它們各自的算法中找出共有的數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律，并將這些運(yùn)算規(guī)律作為公理從而定義空間向量，同時(shí)推導(dǎo)出空間向量具有的性質(zhì)和定理.

顯然，利用代數(shù)性質(zhì)定理，對(duì)那些不能借助直觀具體的數(shù)學(xué)模型，雖然代數(shù)抽象化，但是它憑借嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拇鷶?shù)性質(zhì)定理使得問題的研究更加簡化并且富有邏輯性.

（三）結(jié)構(gòu)化方法

在研究代數(shù)問題中，公理化方法往往不能反映代數(shù)系統(tǒng)中元素間的關(guān)系，不能了解代數(shù)學(xué)的總體狀況，而此時(shí)就需要一種新的探討代數(shù)問題的辦法結(jié)構(gòu)化方法，它是建立在代數(shù)系統(tǒng)公理之上，為了探究代數(shù)系統(tǒng)中元素之間的關(guān)系，代數(shù)系統(tǒng)與子系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上的差異和聯(lián)系而衍生出的代數(shù)問題研究方法.在高等代數(shù)中的向量空間，歐氏空間等都有用到結(jié)構(gòu)化的解決辦法.例如，在向量空間中利用了向量定理以及加法與數(shù)乘的運(yùn)算規(guī)律和性質(zhì)，推算出并確定了向量間的線性關(guān)系，從而研究了向量組、空間向量，并探究向量子空間間的運(yùn)算關(guān)系，通過引入同構(gòu)映射給出了空間向量的對(duì)比方法和維數(shù)的分類方法.在歐式空間中也可以通過引入同構(gòu)映射比較歐式空間的方式.

（四）矩陣表示方法

矩陣表示方法是現(xiàn)代高等代數(shù)中應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)方法，尤其在工程數(shù)學(xué)問題中，矩陣表示方法發(fā)揮了重要的數(shù)學(xué)工具角色.例如，對(duì)那些復(fù)雜的多元線性方程組，一般的常規(guī)表達(dá)不僅煩瑣，解題也不方便，而利用矩陣的增廣矩陣表示則簡潔明了很多.

在空間向量中，給一個(gè)n維的向量定下一個(gè)基，那么這個(gè)空間向量就能夠依據(jù)它的坐標(biāo)用行矩陣或者列矩陣表達(dá)，并且矩陣表示法在空間向量的線性相關(guān)向量大都可以用矩陣表示，利用矩陣表示后，一些復(fù)雜的線性方程組問題便可以通過矩陣變換求解.從而，對(duì)于研究的一些復(fù)雜代數(shù)問題利用矩陣便簡便快速求解.

三、總 結(jié)

通過對(duì)高等代數(shù)研究問題解決的基本方法和思路的總結(jié)，不僅可以加深對(duì)高等代數(shù)問題的理解認(rèn)識(shí)，從而提高對(duì)代數(shù)問題的分析、解決能力，更能提高在代數(shù)研究問題中的邏輯思維能力，對(duì)于高等代數(shù)研究問題的深入探討具有重要意義.

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