等候線問題數(shù)學(xué)模擬研究

程衛(wèi)

【摘要】排隊(duì)論是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象隨機(jī)規(guī)律的科學(xué)，銀行決策服務(wù)網(wǎng)點(diǎn)ATM臺(tái)數(shù)是典型的排隊(duì)論問題.針對(duì)服務(wù)時(shí)間和達(dá)到時(shí)間概率分布數(shù)據(jù)不足的現(xiàn)實(shí)問題，本文利用有限統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，假定服務(wù)時(shí)間正態(tài)分布、間隔時(shí)間均勻分布，利用排隊(duì)理論進(jìn)行模擬計(jì)算，以期為銀行決策提供建議.

【關(guān)鍵詞】排隊(duì)論；概率分布；數(shù)學(xué)模擬；邏輯判斷

一、引 言

日常生活中存在大量有形和無形的排隊(duì)現(xiàn)象，它是數(shù)學(xué)運(yùn)籌學(xué)的分支學(xué)科，也是研究服務(wù)系統(tǒng)中排隊(duì)現(xiàn)象隨機(jī)規(guī)律的學(xué)科.排隊(duì)論（queuing theory），或稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，是通過對(duì)服務(wù)對(duì)象到來及服務(wù)時(shí)間的統(tǒng)計(jì)研究，得出這些數(shù)量指標(biāo)（等待時(shí)間、排隊(duì)長度、忙期長短等）的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來改進(jìn)服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對(duì)象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對(duì)象的需要，又能使機(jī)構(gòu)的費(fèi)用最經(jīng)濟(jì)或某些指標(biāo)最優(yōu).排隊(duì)論廣泛應(yīng)用于計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，生產(chǎn)，運(yùn)輸，庫存等各項(xiàng)資源共享的隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng).排隊(duì)論研究的內(nèi)容有3個(gè)方面：統(tǒng)計(jì)推斷，根據(jù)資料建立模型；系統(tǒng)的性態(tài)，即和排隊(duì)有關(guān)的數(shù)量指標(biāo)的概率規(guī)律性；系統(tǒng)的優(yōu)化問題[1]-[2].

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和技術(shù)的進(jìn)步，銀行自動(dòng)存取款機(jī)（ATM）逐漸成為銀行服務(wù)的主要形式.某國有商業(yè)銀行計(jì)劃在全市內(nèi)拓展布點(diǎn)ATM，銀行需要決策某網(wǎng)點(diǎn)ATM臺(tái)數(shù)，決策平衡要素包括ATM的使用率、平均等待時(shí)間等.

傳統(tǒng)的排隊(duì)論計(jì)算，基礎(chǔ)條件是需要有到達(dá)時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的概率分布和參數(shù)估計(jì)[3].受統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)不足的影響，本文基于有限的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬，以期對(duì)銀行決策提供建議.

二、數(shù)學(xué)模型

（一）模型說明

等候線問題模型整體結(jié)構(gòu)是一個(gè)循環(huán)模型，在單節(jié)循環(huán)內(nèi)部是一個(gè)邏輯選擇模型.模型的主要參數(shù)是時(shí)間，時(shí)間作為單向矢量來表達(dá)，起始時(shí)間為0，其他時(shí)間按先后順序增加[4].

邏輯判斷模型是下一位達(dá)到時(shí)間是否大于（晚于）上一位完成時(shí)間，大于或等于上一位完成時(shí)間則不需要等候，下一位開始服務(wù)時(shí)間等于其到達(dá)時(shí)間；小于則需要等候，下一位開始服務(wù)時(shí)間等于上一位完成時(shí)間.

完成時(shí)間等于開始時(shí)間加上服務(wù)時(shí)間（標(biāo)量），完成時(shí)間作為循環(huán)模型中下一位到達(dá)時(shí)間的比較時(shí)間.

循環(huán)模擬中，有兩個(gè)概率輸入量，時(shí)間表達(dá)為標(biāo)量，一是顧客到達(dá)時(shí)間間隔，二是顧客服務(wù)時(shí)間.

（二）數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型的邏輯判斷結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)都是基本結(jié)構(gòu).本文以Excel模擬計(jì)算的模型進(jìn)行表達(dá).在Excel中，邏輯判斷函數(shù)表達(dá)為：IF（到達(dá)時(shí)間>完成時(shí)間，達(dá)到時(shí)間，完成時(shí)間），用來判斷開始服務(wù)時(shí)間.

如表1所示，假設(shè)模擬的開始時(shí)間是0.顧客1的間隔時(shí)間是概率隨機(jī)值3.1分，這個(gè)時(shí)間是標(biāo)量，大小只代表時(shí)間長短，不代表時(shí)間早晚.到達(dá)時(shí)間是間隔時(shí)間的和，顧客1的到達(dá)時(shí)間是3.1分，這個(gè)時(shí)間是矢量，大小表達(dá)時(shí)間的早晚，可以進(jìn)行對(duì)比.

開始服務(wù)時(shí)間需要邏輯判斷，顧客1的到達(dá)時(shí)間大于完成時(shí)間（第0個(gè)顧客假設(shè)時(shí)間為0），則開始服務(wù)時(shí)間等于達(dá)到時(shí)間，邏輯判斷后直接計(jì)算.等待時(shí)間是開始服務(wù)時(shí)間與到達(dá)時(shí)間的差值，為標(biāo)量時(shí)間.服務(wù)時(shí)間也是個(gè)概率值，顧客1是1.6分，為標(biāo)量時(shí)間.完成時(shí)間是矢量，是開始服務(wù)時(shí)間與服務(wù)時(shí)間的和.系統(tǒng)時(shí)間也是標(biāo)量，為完成時(shí)間與到達(dá)時(shí)間的差值.

同上，第二位顧客到達(dá)時(shí)間是3.6分，第一個(gè)顧客的完成時(shí)間即4.7分，邏輯判斷是到達(dá)時(shí)間小于完成時(shí)間，則開始服務(wù)時(shí)間是第一個(gè)顧客完成時(shí)間.

機(jī)1可用時(shí)間與機(jī)2可用時(shí)間的確定，初始階段（第一位顧客），機(jī)1可用時(shí)間就是完成時(shí)間，機(jī)2可用時(shí)間是0，第二位顧客，機(jī)1可用時(shí)間是邏輯判斷：IF（第一位顧客結(jié)束時(shí)機(jī)1可用時(shí)間>第一位顧客結(jié)束時(shí)機(jī)2可用時(shí)間，第一位顧客結(jié)束時(shí)機(jī)1可用時(shí)間，第二位顧客完成時(shí)間）；機(jī)2可用時(shí)間是邏輯判斷：IF（第一位顧客結(jié)束時(shí)機(jī)1可用時(shí)間>第一位顧客結(jié)束時(shí)機(jī)2可用時(shí)間，第二位顧客完成時(shí)間，第二位顧客結(jié)束時(shí)機(jī)1可用時(shí)間）[5].

三、案例分析

（一）數(shù)據(jù)收集與分析

1.服務(wù)時(shí)間

服務(wù)時(shí)間是顧客在利用ATM進(jìn)行機(jī)上操作的時(shí)間.大量的ATM機(jī)利用數(shù)據(jù)顯示，服務(wù)時(shí)間服從正態(tài)分布，其均值是2，標(biāo)準(zhǔn)差為0.5.

2.間隔時(shí)間

間隔時(shí)間是前后兩個(gè)顧客到達(dá)的間隔時(shí)間.間隔時(shí)間受潛在顧客數(shù)量限制，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示最小時(shí)間是0，最大時(shí)間是5，均勻分布.

（二）模擬結(jié)果

為了確保穩(wěn)態(tài)計(jì)算中不包含初始條件，通常在指定的時(shí)間內(nèi)運(yùn)行動(dòng)態(tài)模擬模型，而不收集任何相關(guān)信息.本文參考其他文獻(xiàn)，把前100個(gè)客戶作為初始階段，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)只統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定運(yùn)行的剩下數(shù)據(jù)，本文統(tǒng)計(jì)剩下900名顧客.

從模擬結(jié)果看，在只有一臺(tái)ATM機(jī)器時(shí)，等待人數(shù)是552人，平均等待時(shí)間是1.62分鐘，ATM使用率是78%.而二臺(tái)ATM機(jī)器的情況下，等待人數(shù)只有71人，平均等待時(shí)間是0.08分鐘，ATM使用率是41%.

（三）銀行決策

銀行決定某網(wǎng)點(diǎn)ATM臺(tái)數(shù)的決策要素包括等待概率、ATM的使用率、等待時(shí)間大于1分鐘概率三個(gè)無量綱參數(shù).決策權(quán)重為1∶3∶1，通過計(jì)算，本文建議銀行選擇2臺(tái)ATM.

四、結(jié) 論

服務(wù)時(shí)間正態(tài)分布、間隔時(shí)間均勻分布，利用排隊(duì)理論進(jìn)行模擬計(jì)算.前100個(gè)客戶作為初始階段，模擬900名顧客作為穩(wěn)定運(yùn)行數(shù)據(jù).分一臺(tái)ATM、二臺(tái)ATM兩種情況進(jìn)行模擬，根據(jù)決策權(quán)重，最終選擇設(shè)立2臺(tái)ATM.

【參考文獻(xiàn)】

[1]羅利春.排隊(duì)論的局限與排隊(duì)模擬的數(shù)學(xué)本質(zhì)[J].中國空間科學(xué)技術(shù)，1994（6）：11-16

[2]崔堯，宋瑞敏.排隊(duì)論在銀行智能排隊(duì)管理中的應(yīng)用研究[J].科技通報(bào)，2014（1）：123-126，130.

[3]蔡文婧，葛連升.基于排隊(duì)論的銀行業(yè)務(wù)窗口設(shè)置優(yōu)化[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），2013（3）：23-29.

[4]柴洪，馬竹書.基于蒙特卡羅模擬法的工程項(xiàng)目財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估[J].項(xiàng)目管理技術(shù)，2012（11）：79-82.

[5]安德森，斯威尼.數(shù)據(jù)、模型與決策[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2015：339-375.endprint